Njuike sisdollui
Bargobihttá

Å anvende parameterframstillinger

Her kan du jobbe med oppgaver der du kan anvende det du har lært om parameterframstillinger.

4.4.20

Vi har gitt linjene  l:x=2ty=2-t og m:x=3+sy=2+s.

a) Finn linjenes skjæringspunkt med aksene.

Løsning

Vi begynner med linje l:

x=0y=02t=02-t=0t=0t=2y=2-0=2x=2·2=4

Linja l sine skjæringspunkter med aksene er (0,2) og (4,0).

x=0y=03+s=02+s=0s=-3s=-2y=2+-3=-1x=3+-2=1

Linja m sine skjæringspunkter med aksene er (0,-1) og (1,0).

b) Finn skjæringspunktet mellom de to linjene.

Løsning

2t=3+s2-t=2+ss=2t-32-t=2+2t-33=3tt=1x=2·1=2y=2-1=1

Skjæringspunktet er (2,1).

Vi ser for oss at linjene beskriver kuler som triller langs bakken. La t og s stå for sekunder siden kulene startet, og la enheten på aksene være m.

c) Finn ut om kulene er på det samme stedet samtidig.

Løsning

For at kulene skal være på det samme stedet samtidig, må s = t i skjæringspunktet:

2t=3+s2-t=2+ss=2t-32-t=2+2t-33=3tt=1s=2·1-3=-1

Vi ser at de to parameterne ikke er like, altså er ikke kulene i skjæringspunktet samtidig.

d) Finn farten til de to kulene.

Løsning

Vi finner farten ved å finne lengden av fartsvektorene.

Først l:

l(t) = 2t,2-tv(t) = 2,-1v = 22+-12= 5

Kula sin fart er 5 m/s.

m:

m(t) = 3+s,2+sm'(t) =1,1v = 12+12= 2

Denne kula sin fart er 2 m/s.

4.4.21

En by har mange rette gater. Om vi legger et rutenett over byen, kan vi si at sentralstasjonen er origo. Et annet knutepunkt, stasjon B, ligger i punktet (15,20). Enheten på aksene er 100 meter.

En bussrute a som går fra sentralstasjonen, følger linja i parameterframstillingen, der t står for minutter:

a:x=5ty=2t

En annen bussrute b går fra stasjon B og følger linja i denne parameterframstillingen:

b:x=15+3ty=20-3t

a) Finn koordinatene til busstoppet de to rutene har felles.

Løsning

Vi bytter parameter i den ene linja og løser likningssystemet:

5t=15+3s2t=20-3st=3+35s23+35s=20-3s6+65s=20-3ss=103x=15+3·103=25y=20-3·103=10

Vi har at koordinatene til det felles busstoppet er (25,10).

b) Forklar at dersom de to bussene starter samtidig, vil de ikke være på busstoppet samtidig.

Løsning

Hvis bussene skal være på busstoppet samtidig, må det finnes en t slik at begge linjene gir punktet (25,10). Vi vet at 103 gir dette for linje b. Vi sjekker for linje a:

x=5·103=50325y=2·103=20310

Bussene er altså ikke på busstoppet samtidig.

c) Det går en buss fra sentralstasjonen klokka 15.20. En passasjer skal over på bussen som går fra stasjon B. Når kan denne bussen tidligst gå dersom overgangen skal være mulig?

Løsning

Vi vet at bussen fra stasjon B bruker 3 minutter og 20 sekunder til det felles busstoppet. (Dette vet vi fordi  t=103.)

Vi finner ut hva t er i møtepunktet for bussen som kommer fra sentralstasjonen:

x=5·t=25y=2·t=10t=5

Bussen fra sentralstasjonen er på møtepunktet klokka 15.25, det vil si at bussen fra stasjon B må gå tidligst 15.21.40 fra stasjonen.

d) Finn farten til bussen som går fra stasjon A. Oppgi svaret i km/h .

Løsning

Her opererer vi med konstant fart, selv om vi vet at busser stopper på busstoppene:

a(t) = 5t,2ta'(t) = 5,2v = 52+22= 29=5,385,4

Siden enheten på aksene er 100 m og parameteren t står for minutter, betyr det at bussen beveger seg 540 m per minutt. Vi gjør om til km/h:

1min = 160h540m = 0,54km0,54km/min = 0,54km160h= 32,4km/h

4.4.22

Vi har gitt punktene A (-3,4) og B (2,3).

a) Finn parameterframstillingen til ei linje l som går gjennom A og B.

Løsning

Vi finner en retningsvektor:

rl=AB=2--3,3-4=5,-1l:x=2+5ty=3-t

Her valgte vi punkt B som utgangspunkt for parameterframstillingen, men vi kunne også ha valgt A:

l:x=-3+5ty=4-t

Ei annen linje m går gjennom origo og har retningsvektoren  rm=7,2.

b) Sett opp en parameterframstilling for denne linja, og finn skjæringspunktet C med l.

Løsning

m:x=0+7sy=0+2s=x=7sy=2s

2+5t=7s3-t=2st=3-2s2+53-2s=7s17=17ss=1x=7y=2

Skjæringspunktet er (7,2).

Ei tredje linje n står vinkelrett på l.

c) Finn en retningsvektor for denne linja.

Løsning

Vi må finne en vektor som står vinkelrett på retningsvektoren til l. Vi vet at vektorene x,y og -y,x er ortogonale, så vi kan bruke følgende vektor:

rn=1,5

d) Linja n går gjennom C. Finn skjæringspunktene til n med aksene.

Løsning

Vi må først finne en parameterframstilling for linja:

n:x=7+sy=2+5s

Så setter vi de to koordinatene lik 0 for å finne skjæringspunktene:

x=7+s=0s=-7y=2+5·-7=2-35=-33y=2+5s=0s=-25x=7+-25=335

Skjæringspunktene er altså (0,-33) og 335,0.

4.4.23

Til nå har du bare jobbet med parameterframstilling for rette linjer. Her skal du få se at man kan framstille andre typer kurver på den samme måten.

En spydkaster kaster spydet i en parabelbane gitt ved parameterframstillingen:

s:x=20ty=2+20t-4,9t2

Her er t antall sekunder etter at spydet er kastet. x-aksen er langs bakken, og lengdene er målt i meter.

a) Tegn kurven som viser spydets bane.

Løsning

Vi skriver Kurve(20t,2+20t-4.9t2,t,0,5) i GeoGebra og får denne kurven:

b) Regn ut hvor lang tid det vil ta før spydet treffer bakken og lengden på kastet.

Løsning

Spydet treffer bakken når  y=0. Vi løser likningen (løs den gjerne i CAS):

2+20t+4,9t2=0t=-0,1t=4,18

Vi kan bare bruke den positive løsningen, så spydet lander etter cirka 4,18 sekunder.

Lengden på kastet finner vi ved å sette inn  t=4,18  i x-koordinaten.

c) Finn når spydet er på sitt høyeste og hvor høyt det er da.

Løsning

Her må vi finne ekstremalpunktet til kurven. I en vanlig funksjon gjør vi dette ved å sette den deriverte lik 0, og det gjør vi også i en vektorfunksjon. Siden det er høyden vi skal finne, er det y-koordinaten vi må derivere:

2+20t-4,9t2' = 0t = 2,04

Vi setter inn i y-koordinaten:

y = 2+20·2,04-4,9·2,042= 22,41 22,4

Vi ser at spydet er på sitt høyeste etter cirka 2 sekunder, og at spydet er cirka 22,4 m over bakken da.

d) Man finner akselerasjonen ved å derivere posisjonsvektorfunksjonen to ganger og så regne ut lengden av denne vektoren. Finn akselerasjonen til spydet.

Løsning

s(t)=20t,2+20t-4,9t2v(t) = s '(t)=20,20-9,8ta(t) = s ''(t)=v '(t)=0,-9,8a = a(t)= 02+-9,82= 9,82= 9,8

Akselerasjonen er altså 9,8 m/s2.