Njuike sisdollui
Bargobihttá

Parameterframstillinger for linjer

Her kan du jobbe med oppgaver om parameterframstillinger for linjer.

4.4.1

Ei linje l går gjennom punktene A2,2 og B3,4.

a) Finn en retningsvektor for linja.

Løsning

Vi bruker AB:

rl=AB=3-2,4-2=1,2

b) Finn stigningstallet for linja ved å se på retningsvektoren.

Løsning

Vi finner stigningstallet til ei linje ved å dele endringen i y på endringen i x. Det betyr at vi kan finne stigningstallet til ei linje ved å dele y-komponenten i retningsvektoren på x-komponenten:

stigningstallet = yrlxrl=21=2

c) Bruk punktet A og retningsvektoren du fant i a) til å lage en parameterframstilling for linja.

Løsning

l:x=2+ty=2+2t

d) Vis at punktet B ligger på linja.

Løsning

Hvis B skal ligge på linja, må vi finne en t slik at begge koordinatene til B passer i parameterframstillingen til l. Vi setter først x=3, og så sjekker vi om den t-verdien vi da får gir y=4:

x=2+t3=2+tt=1y=2+2·1=2+2=4

Vi ser at punktet B ligger på linja.

4.4.2

Vi har gitt linja m:x=3-2ty=1+t.

a) Tegn linja i et koordinatsystem – både for hånd og i GeoGebra.

Løsning

For å tegne linja for hånd trenger vi ett punkt i tillegg til startpunktet i parameterframstillingen, som er 3,1.

Vi setter inn t=1:

x=3-2·1=3-2=1y=1+1=2

Vi tegner inn de to punktene og trekker linja mellom dem.

For å tegne linja i GeoGebra skriver vi

Kurve(3-2t,1+t,t,-3,3)

for å få fram linja. Husk at vi må velge et intervall for t for at GeoGebra skal kunne tegne linja.

b) Finn en parameterframstilling for ei linje som går gjennom punktet 2,2 og er parallell med m.

Løsning

Vi bruker den samme retningsvektoren som i m:

x=2-2ty=2+t

c) Forklar at linja l:x=1-4ty=4+2t er parallell med m.

Løsning

Vi ser på retningsvektorene til linjene:

rl=-4,2=2·-2,1=2·rm

Siden retningsvektorene er parallelle, er også linjene parallelle.

d) Forklar at linja n:x=1-6ty=2+3t er den samme linja som m.

Løsning

Vi ser at punktet (1,2) ligger både på m og n. I tillegg har vi at de to vektorene er parallelle. Dermed er de to linjene identiske.

e) Forklar at linja p:x=3-ty=1-2t står vinkelrett på m.

Løsning

To linjer står vinkelrett på hverandre dersom de to retningsvektorene står vinkelrett på hverandre. Vi viser at skalarproduktet mellom de to retningsvektorene er lik 0:

-2,1·-1,-2=-2·-1+1·-2=2-2=0

4.4.3

Ei linje l går gjennom punktet A3,-2 og har retningsvektoren r=-5,2.

a) Finn en parameterframstilling for linja.

Løsning

l:x=3-5ty=-2+2t

b) Undersøk om punktene B-2,0 og C2,4 ligger på linja.

Løsning

Vi undersøker B først:

-2=3-5t-5=-5tt=1y=-2+2·1=-2+2=0

B ligger altså på linja.

Så undersøker vi C:

2=3-5t-1=-5tt=15y=-2+2·15=-2+254

Vi ser at C ikke ligger på linja.