Njuike sisdollui
Fágaartihkal

Parameterframstillinger for linjer

Ei linje kan beskrives ved posisjonsvektoren til et generelt punkt på linja.

Parameterframstilling

Gitt to punkter A og B. La P være et vilkårlig punkt på linja gjennom A og B. Da vil det alltid finnes en skalar t slik at

AP=t·AB

Posisjonsvektoren til punktet P kan da skrives som

OP = OA+APOP=OA+t·AB

Når t gjennomløper alle verdier, vil P gjennomløpe hele linja.
Variabelen t kalles en parameter.
Posisjonsvektoren OP beskriver linja gjennom A og B ved hjelp av parameteren t, og vi har en parameterframstilling av linja.

La A ha koordinatene (1, 4), og B koordinatene (3, 3).

Parameterframstillingen for linja l gjennom A og B blir

OP = OA+t·AB=1, 4+t3-1, 3-4=1, 4+t2, -1=1+2t, 4-t

På koordinatform får vi

x=1+2t       y=4-t

Det er vanlig å skrive parameterframstillingen til linja l på formen

l:x=1+2ty=4-t

Hvordan framstiller vi kurven?

Ved papir og blyant

Vi lager en tabell som viser x- og y-koordinatene for utvalgte verdier av t.

x=1+2t         y=4-t

Vi kan så plotte punktene, x- og y- koordinatene, i et koordinatsystem, og trekke en kurve gjennom punktene. I dette tilfelle blir kurven ei rett linje.

t

0

1

2

3

4

5

x

1

3

5

7

9

11

y

4

3

2

1

0

-1

Digitalt

På skrivelinja i GeoGebra kan du bruke kommandoen "Kurve(<Uttrykk>,<Uttrykk>,<Parametervariabel>,<Start>,<Slutt>)" og for eksempel skrive Kurve(1+2t, 4-t, t, -1, 5) for å få plottet linjestykket for t-verdier mellom -1 og 5.

(Legg merke til at dette ikke er det samme som at x ligger mellom -1 og 5!)

Generell kurve

I stedet for å kjenne to punkter på linja, er det nok å kjenne ett punkt A=x0, y0 på linja og en tilfeldig vektor a, b som er parallell med linja. Vi kaller en slik vektor for en retningsvektor for linja.

Vi får

OP = OA+AP=x0, y0+t·a, b=x0+at, y0+bt

Ei linje l gjennom punktet A=x0, y0 med retningsvektor a, b, har parameterframstillingen
l: x=x0+aty=y0+bt

Nyttig å vite!

Legg også merke til at linjene

m: x=x1+aty=y1+bt   og   n: x=x2-bty=y2+at

står normalt på hverandre siden retningsvektorene til linjene gjør det.

a, b-b, a

siden

[a, b]·[-b, a]=a·-b+b·a=0

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0