Samlet mengde

I mange sammenhenger vil arealet under grafen til en funksjon ha en praktisk betydning. Ved kontinuerlig endring av en størrelse som er beskrevet av en funksjon, $f\left(x\right)$, vil den samlede mengden i løpet av en tidsperiode fra $x=a$ til $x=b$ være gitt ved

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Vi skal vise dette ved gjennom to eksempler.

Samlet lønn

Erlend ble ferdig med utdannelsen sin i år 2000 og ble tilbudt jobb.

Lønnsbetingelsene som Erlend fikk da han startet i sin nye jobb, var å starte med en årlig inntekt på 270 000 kroner, for deretter å stige i lønn med 7 prosent per år de neste to årene.

Erlends lønn etter $x$ år vil derfor være gitt ved funksjonen

$f\left(x\right)=270 000·1,{07}^x$

Vi tenker oss at lønna justeres én gang per år. Da vil samlet lønn for de 3 første årene være gitt ved følgende sammenheng:

$\begin{array}{lcl}\mathrm{Samlet} \mathrm{lønn}& = & 270 000+ 270 000·1,07+ 270 000·1,{07}^2\end{array}$

Dette er ei geometrisk rekke med 3 ledd, der det første leddet$a_1=270 000$og$k=1,07$.

Samlet lønn for 3 år vil være summen av denne geometriske rekka. Det betyr at vi kan regne ut samlet lønn ved hjelp av formelen for summen av ei geometrisk rekke med $n$ ledd: $\begin{array}{rcl}{S}_n & =& a_1\frac{k^n-1}{k-1}\end{array}$.

Hva ville den samlede lønna ha blitt etter 20 år hvis Erlend hadde fortsatt med 7 prosent lønnsøkning hvert år? Og hvordan kan vi sette opp ei geometrisk rekke for den samlede lønna for $20$ år ved hjelp av en funksjon, $f\left(x\right)$?

Hvordan kan vi framstille Erlends samlede lønn over en periode på 20 år grafisk ved hjelp av rektangulære søyler som angir lønna for hvert år. Vi skal fortsatt anta at Erlend har samme lønn et helt år før den stiger med 7 prosent?

Søylediagram

Vi bruker SumUnder(f,0,20,20) for å tegne et rektangel for hvert år ut fra funksjonen $f$.

Vi ser at den samlede lønnsutbetalingen for 20 år blir det samme som vi beregnet ut fra den geometriske rekka.

Til nå har vi antatt at lønna økes en gang i året. Hvis vi derimot tenker at lønna justeres hver måned, må vi dele hvert rektangel i 12 rektangler, og de hvite feltene mellom kurven og rektanglene blir veldig små. Det vil si at summen av rektanglenes samlede areal nærmer seg området mellom grafen til $f\left(x\right)$ og $x$-aksen.

Dette er den samme framgangsmåten som vi benyttet i definisjonen av det bestemte integralet, men hvis vi skal kunne bruke det bestemte integralet for å beregne samlet mengde, må vi ha en størrelse som endrer seg kontinuerlig. I dette tilfellet måtte lønna justeres kontinuerlig, det vil si at den måtte hele tida være i endring. I så fall vil det bestemte integralet gi riktig verdi av samlet lønn over en angitt tidsperiode.

CAS-beregningen viser at hvis lønna til Erlend endrer seg kontinuerlig over 20 år, vil den samlede lønna bli på 11 451 822 kroner.

Noen andre eksempler

Når vi for eksempel har modeller for oljeutvinning, utslipp av klimagasser, produksjon av en bestemt vare i en bedrift og salg av en bestemt vare fra en butikk over et gitt tidsrom, vil arealet under grafene til funksjonene vise samlet oljeutvinning, samlet utslipp, samlet produksjon og samlet salg i tidsperioden.

Oppsummering

Film om samlet mengde