Oppgave

Beregne bestemte integraler og arealer ved regning

Her kan du øve på å bruke de grunnleggende integrasjonsreglene til å beregne bestemte integraler. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgavene på denne siden skal løses uten digitale hjelpemidler.

Oppgave 1

Beregn de bestemte integralene.

a) $\int_{1}^{10} 5 d x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{10} 5 d x & = & {[5 x]}_{1}^{10} \\ = & 5 \cdot 10 - 5 \cdot 1 \\ = & 45 \end{array}$

b) $\int_{1}^{3} (4 x + 2) d x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{3} (4 x + 2) d x & = & {[4 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{1}^{3} \\ = & {[2 x^{2} + 2 x]}_{1}^{3} \\ = & 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 - (2 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1) \\ = & 18 + 6 - 2 - 2 \\ = & 20 \end{array}$

c) $\int_{0}^{1} (x^{2} + 2 x + 1) d x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} (x^{2} + 2 x + 1) d x & = & {[\frac{1}{3} x^{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + x]}_{0}^{1} \\ = & \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 1 - 0 \\ = & \frac{7}{3} \end{array}$

d) $\int_{- 1}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{- 1}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x & = & {[3 \cdot \frac{1}{3} x^{3} - 2 \cdot \frac{1}{2} x^{2} + x]}_{- 1}^{1} \\ = & {[x^{3} - x^{2} + x]}_{- 1}^{1} \\ = & 1^{3} - 1^{2} + 1 - ({(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + (- 1)) \\ = & 1 - 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \\ = & 4 \end{array}$

e) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x & = & {[\ln | x |]}_{1}^{e} \\ = & \ln e - \ln 1 \\ = & 1 - 0 \\ = & 1 \end{array}$

f) $\int_{- e}^{- 1} \frac{1}{x} d x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{- e}^{- 1} \frac{1}{x} d x & = & {[\ln | x |]}_{- e}^{- 1} \\ = & \ln |- 1| - \ln |- e| \\ = & \ln 1 - \ln e \\ = & 0 - 1 \\ = & - 1 \\ = & 1 \end{array}$

g) $\int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2 x} d x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{\ln 2}^{\ln 3} e^{2 x} d x & = & {[\frac{1}{2} e^{2 x}]}_{\ln 2}^{\ln 3} \\ = & \frac{1}{2} {[e^{2 x}]}_{\ln 2}^{\ln 3} \\ = & \frac{1}{2} (e^{2 \cdot \ln 3} - (e^{2 \ln 2})) \\ = & \frac{1}{2} ({(e^{\ln 3})}^{2} - {(e^{\ln 2})}^{2}) \\ = & \frac{1}{2} (3^{2} - 2^{2}) \\ = & \frac{1}{2} (9 - 4) \\ = & \frac{5}{2} \end{array}$

Oppgave 2

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = 2 x$ .

a) Tegn grafen til $f$ fra $x = - 4$ til $x = 4$ . Marker de to områdene som er avgrenset av

grafen, $x$ -aksen og de rette linjene $x = - 4$ og $x = 0$
grafen, $x$ -aksen og de rette linjene $x = 0$ og $x = 4$

Løsning

Området avgrenset av grafen, $x$ -aksen og de rette linjene $x = - 4$ og $x = 0$ er markert med brun farge.

Området avgrenset av grafen, $x$ -aksen og de rette linjene $x = 0$ og $x = 4$ er markert med blå farge.

Grafen til f av x er lik 2 x. Den er ei rett linje som går gjennom origo. De to områdene som er angitt i oppgaven, er markert. Begge har form som rettvinklede trekanter. Skjermutklipp.

b) Beregn $\int_{- 4}^{0} f (x) d x$ og $\int_{0}^{4} f (x) d x$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{- 4}^{0} 2 x d x & = & {[x^{2}]}_{- 4}^{0} \\ = & 0^{2} - {(- 4)}^{2} \\ = & - 16 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{4} 2 x d x & = & {[x^{2}]}_{0}^{4} \\ = & 4^{2} - 0^{2} \\ = & 16 \end{array}$

c) Bruk resultatene fra b) til å beregne arealene av tre områder, A₁, A₂ og A_tot.

A₁ er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 4$ og $x = 0,$ A₂ er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = 0$ og $x = 4$ , mens A_tot er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 4$ og $x = 4$ .

Løsning

$A_{1} = |\int_{- 4}^{0} f (x) d x| = |- 16| = 16$

$A_{2} = |\int_{0}^{4} f (x) d x| = |16| = 16$

$A_{t o t} = |\int_{- 4}^{0} f (x) d x| + |\int_{0}^{4} f (x) d x| = 16 + 16 = 32$

d) Beregn $\int_{- 4}^{4} f (x) d x$ og sammenlign resultatet med resultatene fra oppgave b) og c).

Løsning

$\int_{- 4}^{4} f (x) d x = {[x^{2}]}_{- 4}^{4} = 4^{2} - {(- 4)}^{2} = 0$

Vi så i b) at de to bestemte integralene hadde den samme tallverdien, men forskjellig fortegn. Summen av de to bestemte integralene blir 0, noe som også integrasjonen i denne oppgaven gir.

Vi ser i c) at selv om vi bruker integralregning som utgangspunkt for å beregne areal, får vi ikke den samme tallverdien på arealet og det bestemte integralet for det samme området. Dette skyldes at en del av grafen er under $x$ -aksen.

Oppgave 3

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ .

a) Bestem $\int f (x) d x$ .

Løsning

$\int (x^{5} - 5 x^{3} + 4 x) d x = \frac{1}{6} x^{6} - \frac{5}{4} x^{4} + 2 x^{2} + C$

b) Nedenfor er grafen til $f$ tegnet, og fire områder er markert med forskjellige farger. Områdene er avgrenset av grafen, $x$ -aksen og nullpunktene til $f$ . Det bestemte integralet for hvert område er angitt.

Grafen til f. Fire områder er avgrenset av grafen, x-aksen og nullpunktene til funksjonen. Illustrasjon.

Bruk informasjonen på bildet til å bestemme arealene av områdene som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene i de fire tilfellene nedenfor.

$x = - 2$ og $x = 0$ .
$x = - 1$ og $x = 1$ .
$x = - 1$ og $x = 2$ .
$x = - 2$ og $x = 2$ .

Løsning

Areal 1:

$\begin{matrix} |\int_{- 2}^{- 1} f (x) d x| + |\int_{- 1}^{0} f (x) d x| = |\frac{9}{4}| + |- \frac{11}{12}| = \frac{19}{6} \end{matrix}$

Areal 2:

$\begin{matrix} |\int_{- 1}^{0} f (x) d x| + |\int_{0}^{- 1} f (x) d x| = |\frac{- 11}{12}| + |\frac{11}{12}| = \frac{11}{6} \end{matrix}$

Areal 3:

$\begin{array}{lc} |\int_{- 1}^{0} f (x) d x| + |\int_{0}^{1} f (x) d x| + |\int_{1}^{2} f (x) d x| \\ = |- \frac{11}{12}| + |\frac{11}{12}| + |\frac{9}{4}| \\ = \frac{49}{12} \end{array}$

Areal 4:

$\begin{array}{l} |\int_{- 2}^{- 1} f (x) d x| + |\int_{- 1}^{0} f (x) d x| + |\int_{0}^{1} f (x) d x| + |\int_{1}^{2} f (x) d x| \\ = |- \frac{9}{4}| + |- \frac{11}{12}| + |\frac{11}{12}| + |\frac{9}{4}| \\ = \frac{19}{3} \end{array}$

Oppgave 4

Vi har følgende funksjon:

$f (x) = x^{3} - x$

a) Beregn $\int_{- 2}^{1} f (x) d x$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{- 2}^{1} (x^{3} - x) d x & = & {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 2}^{1} \\ = & \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) \\ = & \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 4 + 2 \\ = & - \frac{9}{4} \end{array}$

b) Finn nullpunktene til $f$ og tegn fortegnslinje for funksjonen.

Løsning

Vi starter med å faktorisere funksjonsuttrykket: $f (x) = x^{3} - x = x (x^{2} - 1) = x (x + 1) (x - 1)$

Dette gir at $f$ har følgende nullpunkter: $x = - 1, x = 0, x = 1$

For å bestemme hvor $f$ er positiv og negativ, tester vi $x$ -verdier før, etter og mellom nullpunktene:

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - (- 2) = - 8 + 2 = - 6$

$f (- 0, 1) = {(- 0, 1)}^{3} + 0, 1 = - 0, 001 + 0, 1 = 0, 9$

$f (0, 1) = 0, 1^{3} - 0, 1 = 0, 001 - 0, 1 = - 0, 099$

$f (2) = 2^{3} - 2 = 8 - 2 = 6$

Fortegnslinje:

Ei tallinje der minus 1, 0 og 1 er markert. Under tallinja er fortegnslinja til uttrykket x opphøyd i tredje minus x tegnet opp. Fortegnslinja viser at uttrykket er negativt fra minus uendelig og til x er lik minus 1, null for x er lik minus 1, positiv mellom x er lik minus 1 og x er lik 0, null for x er lik 0, negativ mellom x er lik 0 og x er lik 1, null for x er lik 1 og positiv fra x er lik 1 og til pluss uendelig. Illustrasjon.

Vi kunne også ha tegnet fortegnslinja til funksjonen ut fra det vi kan lese ut av funksjonsuttrykket. Dette er fordi en tredjegradsfunksjon med tre nullpunkt og positivt tredjegradsledd alltid vil følge dette mønsteret. Tenk gjennom hva som er grunnen til det.

c) Beregn arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 2$ og $x = 1$ .

Løsning

Arealet av det angitte området er summen av arealene av de tre områdene som er avgrenset av $x = - 2$ og nullpunktene til funksjonen. Vi beregner de bestemte integralene for disse områdene hver for seg, og vi beregner deretter det samlede arealet ut fra absoluttverdiene.

$\int_{- 2}^{- 1} (x^{3} - x) d x = {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 2}^{- 1}$

$\begin{array}{ccl} \begin{array}{cl} = & \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - (\frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - \frac{1}{2} {(- 2)}^{2}) \end{array} \\ \begin{array}{cl} = & \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 4 + 2 \end{array} \\ \begin{array}{cl} = & - \frac{9}{4} \end{array} \end{array}$

$\int_{- 1}^{0} (x^{3} - x) d x = {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{- 2}^{- 1}$

$\begin{array}{ccl} \begin{array}{cl} = & \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1}{4} {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2}) \end{array} \\ \begin{array}{cl} = & 0 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \end{array} \begin{array}{cl} \end{array} \\ \begin{array}{cl} = & \frac{1}{4} \end{array} \end{array}$

$\int_{0}^{1} (x^{3} - x) d x = {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{1}$

$\begin{array}{ccl} \begin{matrix} \begin{array}{cl} = & \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 0 \end{array} & \begin{array}{cl} \end{array} \end{matrix} \\ \begin{array}{cl} = & \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \end{array} \begin{array}{cl} \end{array} \\ \begin{array}{cl} = & - \frac{1}{4} \end{array} \end{array}$

Arealet av området fra $x = - 2$ til $x = 1$ blir

$|\int_{- 2}^{- 1} f (x) d x| + |\int_{- 2}^{- 1} f (x) d x| + |\int_{- 2}^{- 1} f (x) d x|$

$\begin{array}{ccl} = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ = \frac{11}{4} \end{array}$

Oppgave 5

Vi har følgende funksjon:

$f (x) = x^{4} - x^{2}$

a) Beregn $\int_{- 1}^{1} f (x) d x$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int_{- 1}^{1} (x^{4} - x) d x & = & {[\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{- 1}^{1} \\ = & \frac{1}{5} 1^{5} - \frac{1}{3} 1^{3} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) \\ = & \frac{1}{5} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \\ = & - \frac{4}{15} \end{array}$

b) Finn nullpunktene til $f$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{4} - x^{2} & = & 0 \\ x^{2} (x^{2} - 1) & = & 0 \\ x^{2} (x - 1) (x + 1) & = & 0 \end{array}$

Funksjonen har nullpunkt for $x = - 1, x = 0, x = 1$ .

c) Hvorfor er funksjonens nullpunkt viktig informasjon hvis du skal beregne arealet mellom grafen og $x$ -aksen?

Løsning

Når vi skal beregne arealet mellom grafen og $x$ -aksen, er det viktig å vite hvor grafen krysser $x$ -aksen. Dette er fordi vi må beregne de bestemte integralene for områdene over og under $x$ -aksen hver for seg. Nullpunktene angir hvor grafen krysser $x$ -aksen og gir oss derfor informasjon om øvre og nedre grense i hvert av de bestemte integralene.

d) Beregn arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 1$ og $x = 1$ .

Løsning

Ut fra informasjonen vi fikk i b), vet vi at grafen har nullpunkter for $x = - 1$ , $x = 0$ og $x = 1$ . For å beregne arealet av det angitte området beregner vi det bestemte integralet for områdene mellom nullpunktene hver for seg og summerer absoluttverdien av disse.

$\begin{array}{rcl} |\int_{- 1}^{0} (x^{4} - x^{2}) d x| & = & |{[\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{- 1}^{0}| \\ = & |\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (\frac{1}{5} {(- 1)}^{5} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})| \\ = & |\frac{1}{5} - \frac{1}{3}| \\ = & |\frac{- 2}{15}| \\ = & \frac{2}{15} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} |\int_{0}^{1} (x^{4} - x) d x| & = & |{[\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{- 1}^{0}| \\ = & |\frac{1}{5} \cdot 1^{5} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\frac{1}{5} {(0)}^{5} - \frac{1}{3} {(0)}^{3})| \\ = & |\frac{1}{5} - \frac{1}{3}| \\ = & |\frac{- 2}{15}| \\ = & \frac{2}{15} \end{array}$

Totalt areal: $\frac{2}{15} + \frac{2}{15} = \frac{4}{15}$

e) Vi legger merke til at begge integralene vi beregnet i d), er negative. Kan du forklare hva det sier om nullpunktet $x = 0$ ?

Løsning

Siden begge integralene er negative, betyr det at grafen er under $x$ -aksen fra $x = - 1$ til $x = 1$ . Når vi til tross for dette har et nullpunkt i $x = 0$ , betyr det at grafen også har et toppunkt for $x = 0$ .

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Bestemte og ubestemte integraler

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Nedlastbare filer