Oppgave

Samlet mengde

Her kan du øve på å bruke bestemte integraler til å beregne samlet mengde i ulike situasjoner. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

En fabrikk produserer nå 500 enheter per måned av en vare. Bedriften vil satse på et nytt marked og regner med at produksjonen vil øke med 2 prosent per måned de to kommende årene.

a) Sett opp et uttrykk for antall enheter per måned av varen, $E (x)$ , der $x$ er antall måneder fra dagens dato.

Løsning

Med en vekstfaktor på 1,02 får vi følgende eksponentialfunksjon:

$E (x) = 500 \cdot 1, 02^{x}$

b) Bruk integrasjon til å beregne samlet produksjon av varen de neste to årene.

Løsning

Beregning av totalt antall produserte enheter i CAS, to linjer. I linje 1 definerer vi funksjonen ved å skrive E av x kolon er lik 500 ganger 1,02 opphøyd i x. I linje 2 står det Integral parentes E komma 0 komma 24 parentes slutt. Skjermutklipp.

Den samlede produksjonen av varen de neste to årene er 15 362 enheter.

Oppgave 2

En bedrift slipper i dag ut 1 000 tonn av en klimagass per måned. Bedriften har som målsetting å redusere dette utslippet med 4 prosent i gjennomsnitt per måned i de neste årene.

a) Hvor stort vil det månedlige utslippet, $K (x)$ , av klimagassen være om 1 år dersom bedriften klarer målsettingen sin?

Løsning

Vi setter først opp et uttrykk for det månedlige utslippet etter $x$ måneder:

$K (x) = 1 000 \cdot 0, 96^{x}$

Det månedlige utslippet etter 1 år (12 måneder):

$K (12) = 1 000 \cdot 0, 96^{12} = 612, 7$

Det månedlige utslippet vil være 612,7 tonn.

b) Beregn det samlede utslippet i løpet av det første året.

Løsning

Beregning av samlet mengde i CAS, to linjer. I linje 1 defineres funksjonen ved å skrive K av x kolon er lik 1000 multiplisert med 0,96 opphøyd i x. Resultatet er K av x kolon er lik 1000 parentes 24 delt på 24 parentes slutt opphøyd i x. I linje 2 beregnes det bestemte integralet ved å skrive integral parentes K komma 0 komma 12 parentes slutt. Resultatet blir tilnærmet lik 94327,29. Skjermutklipp.

Det samlede utslippet det første året vil være 9 487 tonn.

Oppgave 3

Ved produksjon av en vare er etterspørselen per uke gitt ved

$E (x) = 100 e^{0, 01 x}, x \in [1, 52]$

der $x = 1$ betyr uke 1, $x = 2$ betyr uke 2 og så videre.

a) Finn etterspørselen av varen etter 26 uker.

Løsning

Beregning av etterspørsel i CAS, to linjer. I linje 1 defineres funksjonen ved å skrive E av x kolon er lik 100 ganger e opphøyd i 0,01 ganger x. I linje 2 beregnes etterspørselen etter 26 uker ved å skrive E av 26. Resultatet blir 129,69. Skjermutklipp.

Etterspørselen per uke etter 26 uker er 130 enheter.

b) Finn hvor mange uker det går før etterspørselen er på 160 enheter i uka.

Løsning

Vi løser en likning i CAS:

Det tar 47 uker før etterspørselen per uke er på 160 enheter i uka.

c) Finn samlet etterspørsel for 52 uker.

Løsning

Beregning av samlet etterspørsel i CAS, ei linje. Det står integral fra 1 til 52 E d x er tilnærmet lik 6719,77. Skjermutklipp.

Den samlede etterspørselen fra uke 1 til og med uke 52 blir 6 720 enheter.

d) Hvor mange uker tar det før den samlede etterspørselen blir 10 000 enheter?

Løsning

Beregning av antall uker før den gitte samlede mengden i CAS, ei linje. Det står Integral parentes E komma 1 komma x parentes slutt er lik 10000 komma x er lik 1. Svaret med N Løs er x er lik 69,82. Skjermutklipp.

Det tar 70 uker før den samlede etterspørselen blir 10 000 enheter.

e) Lag algoritmen for et program som løser likningen i oppgave d). Programmet skal bruke rektangelmetoden til å beregne samlet areal, og det skal be om ønsket samlet mengde ved oppstart. Lag deretter programmet og test det med 10 000 enheter. Sammenlign med resultatet du fikk i d).

Algoritme

Funksjonen $f (x)$ angis fra start i programmet.

Programmet skal be om samlet mengde som inndata.

Bredde for rektanglene må angis som en konstant verdi.

Startverdi for areal må settes lik 0.

Startverdi for $x$ må settes lik 1.

Ei løkke øker $x$ -verdien med $d x$ for hver gjennomgang og beregner arealet av hver rektangel. Rektanglets areal legges til det totale arealet. Løkka gjennomføres så lenge totalt areal er mindre enn samlet mengde.

Det beregnede antallet uker ( $x$ -verdien) presenteres på skjermen.

Program

Samlet mengde

1import math
2# Definerer funksjonen f
3def f(x):
4    return 100*math.e**(0.01*x)
5
6# Informasjon gis, og inndata registreres.
7print("Dette programmet ber om en verdi for ")
8print("ønsket samlet mengde for funksjonen f(x)=100*e^(0.01x).")
9print("Deretter beregnes antall uker det tar før denne verdien nås.")
10samletMengde = float(input("Skriv inn ønsket samlet mengde: "))
11
12# Setter bredden på rektanglene
13deltax = 0.01
14
15# Setter startverdier for arealet
16areal=0
17
18# Setter startverdi for x
19xVerdi=1
20
21# Løkke som beregner areal av hvert rektangel og summerer etter hvert
22while areal<samletMengde:
23    # Beregner neste x-verdi
24    xVerdi=xVerdi+deltax
25    rektangelAreal=f(xVerdi)*deltax
26    areal=areal+f(xVerdi)*deltax
27
28print(f"Det tar {xVerdi:.2f} uker før samlet mengde er blitt {samletMengde:.0f}.")

Test av programmet med $d x$ lik 0,01 og ønsket samlet mengde lik 10 000 gir 69,82 uker, altså det samme resultatet som likningen i d).

Oppgave 4

Bedriften Utslipp AS hadde i 2021 et totalt utslipp av CO₂ på 5 000 tonn. De fikk et pålegg fra myndighetene om å redusere utslippene med 20 prosent per år de neste 5 årene, gjeldende fra 1. januar 2023. Mengden utslipp skulle derfor reduseres etter formelen $U (x) = 5 000 \cdot 0, 8^{x}$ , der $x$ er antall år etter 1. januar 2023.

Utslipp AS tolker pålegget om å redusere utslippene med 20 prosent per år slik at de kan gjøre en 20 prosents reduksjon én gang i løpet av året. De planlegger derfor å gjøre en slik reduksjon 31. desember hvert år, første gang 31. desember 2023.

a) Tegn grafen til $U (x)$ ved hjelp av GeoGebra. Lag også ei grafisk framstilling i det samme koordinatsystemet som viser mengden utslipp hvert år fra 1. januar 2023 til 31. desember 2027 hvis bedriften reduserer utslippene med 20 prosent 31. desember hvert år. Hva vil den totale mengden utslipp for disse 5 årene bli?

Tips

Lag den grafiske framstillinga ved å definere funksjonen i GeoGebra, og skriv SumOver(U,0,5,5) i algebrafeltet.

Løsning

Søylediagram som viser mengden utslipp per år ved reduksjon trettiførste desember hvert år. Den totale mengden utslipp per år er angitt til 16808. Skjermutklipp.

Vi ser at den total mengden utslipp disse 5 årene ut fra denne tolkningen vil være 16 808 tonn CO₂.

En naturvernorganisasjon mener at Utslipp AS ikke tolker pålegget riktig, og at reduksjonen bør gjøres 1. januar hvert år, med første reduksjon 1. januar 2023.

b) Lag ei ny grafisk framstilling som viser mengden utslipp hvert år fra 1. januar 2023 til 31. desember 2027 hvis bedriften følger naturvernorganisasjonens råd. Hva blir det totale utslippet over 5 år hvis naturvernorganisasjonen får det slik de vil?

Tips

Lag ei grafisk framstilling ved å definere funksjonen i GeoGebra, og skriv SumUnder(U,0,5,5) i algebrafeltet.

Løsning

Søylediagram som viser mengden utslipp per år ved reduksjon første januar hvert år. Den totale mengden utslipp per år er angitt til 16808. Skjermutklipp.

Vi ser at naturvernorganisasjonens tolkning fører til at utslippet for disse 5 årene blir redusert til 13 446 tonn CO₂.

Bedriften finner i løpet av 2022 en teknisk løsning som gjør at utslippene kan reduseres kontinuerlig ut fra funksjonen $U (x)$ , og denne løsningen godtas av alle parter.

c) Lag ei grafisk framstilling som viser mengden utslipp fra 1. januar 2023 til 31. desember 2027 ved kontinuerlig reduksjon. Beregn også den totale mengden utslipp for disse 5 årene for denne løsningen.

Tips

Beregn det bestemt integralet i algebrafeltet. Da lager GeoGebra både ei grafisk framstilling og beregner den samlede mengden utslipp.

Løsning

Diagram som viser mengden utslipp per år ved kontinuerlig reduksjon. Arealet under grafen er markert med farge. Den totale mengden utslipp per år er angitt til 15064. Skjermutklipp.

Vi ser at de totale utslippene blir 15 065 tonn CO₂ hvis bedriften reduserer utslippene kontinuerlig. Dette er en mellomting av utslippene vi beregnet i de to foregående metodene.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Samlet mengde(DOCX)
Samlet mengde(PDF)

Bestemte og ubestemte integraler

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Nedlastbare filer