Analysens fundamentalteorem

At $f\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)$, betyr at $g\left(x\right)$ er en antiderivert av $f\left(x\right)$. Da får vi videre at

${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_1^2=g\left(2\right)-g\left(1\right)=\frac{7}{2}-\frac{3}{2}=2$

$\begin{array}{rcl}{\int }_1^{2}f\left(x\right)dx & =& {\left[g\left(x\right)\right]}_1^2\\ & =& {\left[2x^2-1\right]}_1^2\\ & =& 2·2^2-1-\left(2·1^2-1\right)\\ & =& 8-1-2+1\\ & =& 6\end{array}$

${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_0^3=g\left(3\right)-g\left(0\right)=3-0=3$

Hvis vi sammenlikner med svaret over, får vi at

$\begin{array}{rcl}g\left(b\right)-g\left(0\right) & =& 0\\ g\left(b\right) & =& g\left(0\right)\\ g\left(b\right) & =& 0\end{array}$

Vi må bruke det høyre nullpunktet, som betyr at $b=2$.

Vi har at

${\int }_0^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_0^b=g\left(b\right)-g\left(0\right)$

For at dette integralet skal være så stort som mulig, må $g\left(b\right)$ være så stor som mulig. Den største verdien for $g$ er 8, som betyr at $b=4$.

Vi har at

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_a^b=g\left(b\right)-g\left(a\right)$

For at dette integralet skal være så stort som mulig, må $g\left(b\right)$ være så stor som mulig og $g\left(a\right)$ så liten som mulig. Den største verdien for $g$ er 8, som betyr at $b=4$. Den minste verdien for $g$ er $-1$, som betyr at $a=1$.

Den største verdien for integralet blir derfor

$g\left(4\right)-g\left(1\right)=8-\left(-1\right)=9$

For at integralet skal være så lite som mulig, må $g\left(b\right)$ være så liten som mulig og $g\left(a\right)$ så stor som mulig. Siden grafen til funksjonen $g$ er synkende i intervallet $[-1,1]$, vil vi få minst verdi for integralet når vi integrerer mellom endepunktene i dette intervallet. Det betyr at $a=-1$ og $b=1$.

Den minste verdien for integralet blir derfor

$g\left(1\right)-g\left(-1\right)=-1-3=-4$

${\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-1}^0=g\left(0\right)-g\left(-1\right)=0-\left(-8\right)=8$

${\int }_{-1}^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-1}^b=g\left(b\right)-g\left(-1\right)$

Siden $g\left(-1\right)$ er absolutt minimum, vil $g\left(b\right)\ge g\left(-1\right)$ for alle $b\in \left[-1,4\right]$. Da vil differansen $g\left(b\right)-g\left(0\right)\ge 0$ for alle $b\in \left[-1,4\right]$.

${\int }_{-1}^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-1}^b=g\left(b\right)-g\left(-1\right)$

Integralet er 0 når $b=-1$. Så øker det i verdi til $b=0,5$ der $g$ har et toppunkt. Så minker det til $g$ har bunnpunkt, det vil si $b\approx 2,2$. Så øker det igjen til det får sin største verdi i det absolutte maksimumet til $g$ der $b=4$.

Likningen gir

$\begin{array}{rcl}{\int }_{-1}^{b}f\left(x\right)dx & =& {\left[g\left(x\right)\right]}_{-1}^b=g\left(b\right)-g\left(-1\right) = 6\\ g\left(b\right) & =& 6+g\left(-1\right)\\ & =& 6-8\\ & =& -2\end{array}$

Ved å lese av på grafen får vi at løsningen er

$b\approx -0,4 \vee b\approx 2,0 \vee b\approx 2,5$.

${\int }_{-3}^{1}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-3}^1=g\left(1\right)-g\left(-3\right)=-1-1=-2$

Likningen gir

$\begin{array}{rcl}{\int }_{-3}^{b}f\left(x\right)dx & =& {\left[g\left(x\right)\right]}_{-3}^b=g\left(b\right)-g\left(-3\right) = -1\\ g\left(b\right) & =& -1+g\left(-3\right)\\ & =& -1+1\\ & =& 0\end{array}$

Ved å lese av på grafen får vi at løsningen er $b=-2 \vee b=2$.

Vi har at

${\int }_{-3}^{b}f\left(x\right)dx={\left[g\left(x\right)\right]}_{-3}^b=g\left(b\right)-g\left(-3\right)$

Siden det er ingen funksjonsverdier for $g\left(x\right)$ som er større enn funksjonsverdien $g\left(-3\right)$, kan ikke integralet bli positivt.

$\begin{array}{rcl}{\int }_{-2}^{b}f\left(x\right)dx & =& {\left[g\left(x\right)\right]}_{-2}^b \\ & =& g\left(b\right)-g\left(-2\right)\\ & =& g\left(b\right)-0\\ & =& g\left(b\right)\end{array}$

Integralet er større enn null dersom $g\left(b\right)$ er større enn null, som betyr der grafen ligger over $x$-aksen. Det blir derfor som å tegne fortegnslinje for $g$.