Oppgave

Gjennomsnittet av en funksjon ved integrasjon

Øv på å finne gjennomsnittet av en funksjon ved hjelp av integralregning. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

a) Tegn grafen til funksjonen $f (x) = 3 x + 4$ . Grafen må minst vises for $x$ -verdier mellom 0 og 2.

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik 3 x pluss 4 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 2 og 3. Illustrasjon.

b) Bestem gjennomsnittsverdien, $f$ , til $f (x) = 3 x + 4, x \in [0, 2]$ ved hjelp av integrasjon både med og uten bruk av digitale hjelpemidler.

Løsning

Uten hjelpemidler:

$\begin{array}{rcl} \bar{f} & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} (3 x + 4) d x \\ = & \frac{1}{2} {[\frac{3}{2} x^{2} + 4 x]}_{0}^{2} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{3}{2} \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2) \\ = & \frac{1}{2} \cdot 14 \\ = & 7 \end{array}$

Med CAS i GeoGebra (der $f_{m}$ står for gjennomsnittsverdien av $f$ ):

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet f m kolon er lik 1 delt på parentes 2 minus 0 parentes slutt multiplisert med Integral parentes f komma, 0 komma, 2 parentes slutt. Svaret er f m kolon er lik 7. Skjermutklipp. — Gjennomsnittet av funksjonen f i intervallet [0, 2]

c) Hvordan kan du kontrollere at beregningen uten hjelpemidler i b) er riktig, uten å bruke digitale hjelpemidler?

Løsning

Siden grafen i a) er ei rett linje, kan vi også beregne gjennomsnittsverdien ved å finne gjennomsnittet av $f (0)$ og $f (2)$ .

$f = \frac{f (0) + f (2)}{2} = \frac{4 + 10}{2} = 7$

d) Tegn grafen til $g (x) = 1, 5 x^{2} + 4$ i det samme koordinatsystemet som grafen til $f$ . Vis at $g (0) = f (0)$ og $g (2) = f (2)$ .

Løsning

Vi skriver inn funksjonen $g (x) = 1, 5 x^{2} + 4$ og bruker verktøyet "Skjæring mellom to objekt" for å finne skjæringspunktene mellom $f$ og $g$ . Resultatet viser at $g (0) = f (0)$ og $g (2) = f (2)$ .

Grafene til funksjonen f av x er lik 3 x pluss 4 og g av x er lik 1,5 x i andre pluss 4 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 2 og 3. Skjæringspunktene mellom grafene med koordinater 0 og 4 og koordinater 2 og 10 er markert. Illustrasjon.

e) Forklar uten å regne hvorfor gjennomsnittsverdien $g$ til $g$ i intervallet $[0, 2]$ er mindre enn gjennomsnittsverdien $f$ til $f$ i samme intervall.

Løsning

Selv om $g (0) = f (0)$ og $g (2) = f (2)$ , vil gjennomsnittsverdien $g$ være mindre enn $f$ fordi grafen til $g$ ligger under grafen til $f$ i hele intervallet $[0, 2]$ .

f) Bestem gjennomsnittsverdien, $g$ , til $g (x) = 1, 5 x^{2} + 4$ i intervallet $[0, 2]$ ved hjelp av integrasjon både med og uten bruk av digitale hjelpemidler.

Løsning

Uten hjelpemidler:

$\begin{array}{rcl} \bar{g} & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} g (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - 0} \int_{0}^{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 4) d x \\ = & \frac{1}{2} {[\frac{1}{2} x^{3} + 4 x]}_{0}^{2} \\ = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2) - 0 \\ = & \frac{1}{2} (4 + 8) \\ = & 6 \end{array}$

Med CAS i GeoGebra:

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 4 er det skrevet g m kolon er lik 1 delt på parentes 2 minus 0 parentes slutt multiplisert med Integral parentes g komma, 0 komma, 2 parentes slutt. Svaret er g m kolon er lik 6. Skjermutklipp. — Gjennomsnittet av funksjonen g i intervallet [0, 2]

Oppgave 2

a) Bestem gjennomsnittsverdien, $f$ , til $f (x) = x^{2} - 2 x, x \in [- 1, 2]$ ved hjelp av integrasjon uten bruk av digitale hjelpemidler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \bar{f} & = & \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = & \frac{1}{2 - (- 1)} \int_{- 1}^{2} (x^{2} - 2 x) d x \\ = & \frac{1}{3} {[\frac{1}{3} x^{3} - x^{2}]}_{- 1}^{2} \\ = & \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 2^{2} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2})) \\ = & \frac{1}{3} (\frac{8}{3} - 4 + \frac{1}{3} + 1) \\ = & 0 \end{array}$

b) Hva forteller gjennomsnittsverdien i dette tilfellet om arealet som avgrenses av grafen og $x$ -aksen i det angitte området?

Løsning

Når gjennomsnittet blir lik 0, betyr det at det er like mye areal under $x$ -aksen som over den i det aktuelle området .

Oppgave 3

a) Finn $\int_{- 1}^{5} f (x) d x$ når du får vite at gjennomsnittsverdien til $f$ i intervallet $[- 1, 5]$ er 3.

Løsning

Opplysningen gir oss at

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{5 - (- 1)} \int_{- 1}^{5} f (x) d x & = & 3 \\ \frac{1}{6} \int_{- 1}^{5} f (x) d x & = & 3 \\ \int_{- 1}^{5} f (x) d x & = & 18 \end{array}$

b) Vi antar at funksjonen $f > 0$ i et intervall $[a, b]$ . Vi har gitt et rektangel med areal lik 4, lengde lik $b - a$ og bredde lik gjennomsnittsverdien av funksjonen $f$ på intervallet $[a, b]$ .

Finn $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Løsning

Fra utgangspunktet $f = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ får vi at

$\int_{a}^{b} f (x) d x = f \cdot (b - a)$

Høyresiden kan dermed oppfattes som arealet av rektangelet som er beskrevet i oppgaveteksten. Se også teorisiden. Siden arealet av rektangelet er 4, får vi at

$\int_{a}^{b} f (x) d x = 4$

Oppgave 4

a) På teorisiden har vi at gjennomsnittsverdien $f$ for $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ i intervallet $[1, 4]$ er 3,5.

Hva må øvre grense for intervallet endres til for at $f = 4$ ?

Tips til oppgaven

Bruk CAS og sett opp en likning.

Løsning

Vi må løse likningen $f = \frac{1}{b - 1} \int_{1}^{b} f (x) d x = 4$ .

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet f av x kolon er lik en halv x i andre. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet 4 er lik 1 delt på parentes b minus 1 parentes slutt multiplisert med Integral parentes f komma, 1 komma, b parentes slutt komma, b er lik 1. Svaret med "N Løs" er b er lik 4,32. Skjermutklipp.

Vi får at $b = 4, 32$ gir en gjennomsnittsverdi på 4.

Her brukte vi funksjonen "NLøs" fordi funksjonen "Løs" ikke klarte å finne løsningen.

b) Tegn funksjonen $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 1$ for $x$ -verdier i intervallet $[- 4, 4]$ , og bestem $b$ slik at gjennomsnittsverdien $f$ til funksjonen $f$ i intervallet $[- 3, b]$ er 2.

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik en halv x i andre minus 1 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom minus 4 og 4. Illustrasjon.

Vi må løse likningen

$f = \frac{1}{b - (- 3)} \int_{- 3}^{b} f (x) d x = 2$

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet f av x kolon er lik en halv x i andre minus 1. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet 2 er lik 1 delt på parentes b minus minus 3 parentes slutt multiplisert med Integral parentes f komma, minus 3 komma, b parentes slutt komma, b er lik 1. Svaret med "N Løs" er b er lik minus 1,85. På linje 3 er det skrevet 2 er lik 1 delt på parentes b minus minus 3 parentes slutt multiplisert med Integral parentes f komma, minus 3 komma, b parentes slutt komma, b er lik 5. Svaret med "N Løs" er b er lik 4,85. Skjermutklipp. — CAS-utregning med GeoGebra

Vi må være på vakt og se etter flere løsninger. Derfor tegnet vi først grafen i denne oppgaven. Den første løsningen kommer automatisk når vi skriver inn likningen uten å angi noen verdi for $b$ ( $b = 1$ kommer automatisk). Hvis vi studerer grafen, ser vi at gjennomsnittsverdien vil fortsette å synke om $b$ blir større enn $- 1, 85$ . Men siden grafen er stigende for positive $x$ -verdier, må gjennomsnittsverdien etter hvert øke og passere 2 for en verdi for $b$ som er større enn 0. For å finne denne verdien for $b$ gjentar vi likningen fra linje 2, men prøver oss med en større verdi for $b$ , se linje 3. Da får vi $b = 4, 85$ som løsning.

Flere løsninger kan det ikke være siden funksjonen fortsetter å vokse etter som $x$ øker. Gjennomsnittsverdien er 2 når

$b = - 1, 85 \lor b = 4, 85$

Oppgave 5

Funksjonen

$f (x) = - 0, 05 x^{2} + 1, 5 x - 6, 23$

beskriver temperaturen mellom klokka 06.00 og klokka 20.00 en dag på høsten i Trondheim der $x$ er antall timer etter midnatt.

a) Lag en algoritme for et program som beregner gjennomsnittstemperaturen numerisk i det oppgitte intervallet. Lag programmet slik at antall rektangler kan angis når programmet kjøres.

Løsning

Vi tar utgangspunkt i algoritmen i oppgave 3.1.2, der vi bruker venstre endepunktsum i beregningen av integralet.

Funksjonen $f (x)$ angis fra start i programmet.

Totalt integral må settes lik null fra start.

Programmet skal gi deg mulighet til å angi det antallet rektangler som området skal deles inn i.

Startverdi for $x$ settes lik nedre grense for $x$ , som er $a$ .

Bredden av hvert rektangel, $∆ x$ , beregnes ved å ta den totale bredden på området og dividere på antall rektangler.

Programmet skal først beregne en tilnærmet verdi for integralet. Dette gjøres ved hjelp av ei løkke, der arealet til hvert rektangel beregnes, og dette legges til for hver runde i løkka i en totalsum.

Arealet til hvert rektangel beregnes ved å multiplisere høyden med bredden, det vil si $f (x_{n}) \cdot ∆ x_{n}$ .

For hver gang et areal er beregnet, øker $x$ -verdien med $∆ x$ , som er bredden av hvert rektangel.

Løkka gjentas så lenge $x$ -verdien er mindre enn eller lik $x_{2}$ .

Til slutt skal det totale integralet deles på differansen $b - a$ , og resultatet, som blir gjennomsnittstemperaturen, skrives ut.

b) Lag programmet som algoritmen beskriver.

Løsning

python

1       # Definerer funksjonen f
2def f(x):
3    return -0.05*x**2 + 1.5*x - 6.23
4           # Setter startverdier for integralet
5integral = 0
6
7       # Informasjon gis, og inndata registreres.
8print("Dette programmet finner en tilnærming til")
9print("gjennomsnittstemperaturen i intervallet fra klokka 6 til klokka 20.")
10a = 6
11b = 20
12antallRektangler = float(input("Skriv inn antall rektangler som skal brukes:"))
13deltax = (b - a)/antallRektangler
14
15       # Startverdi for x settes lik nedre grense for x, som er a.
16xVerdi = a
17
18       # Løkke som beregner areal av hvert rektangel og summerer etter hvert
19while xVerdi <= b:
20    integral = integral + f(xVerdi)*deltax
21           # Beregner neste x-verdi
22    xVerdi = xVerdi + deltax
23    
24       # Beregner gjennomsnittstemperaturen
25gjsnitt = integral/(b-a)
26print(f"Gjennomsnittstemperaturen er {gjsnitt:.2f}°C.")

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Bestemte og ubestemte integraler

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4

Oppgave 5

Nedlastbare filer