Brøkregelen for derivasjon

Akkurat som for produktfunksjoner har vi en egen regel for å derivere brøkfunksjoner:

$\begin{array}{lccccl}f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}& & & \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& & f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)-u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}{\left(v\right(x){)}^2}\\ & & & \begin{array}{ccc}& & \end{array}& & \\ f=\frac{u}{v}& & & \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& & f^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}·v-u·v^{\text{'}}}{v^2}\end{array}$

$f$, $u$ og $v$ er funksjoner av $x$ og skal deriveres med hensyn på $x$. I den andre linja ovenfor har vi brukt en litt forenklet skrivemåte.

Den deriverte til en brøk blir en ny brøk der nevneren er kvadratet av den opprinnelige nevneren. Telleren ligner på uttrykket til den deriverte av et produkt, men forskjellen er at det står minustegn mellom leddene. Det er derfor viktig med rett rekkefølge på leddene i telleren. Begynn med å derivere telleren.

Eksempel 1

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{x^3+2}{x^2}\end{array}$

For å ikke blande $u\left(x\right) \mathrm{og} v\left(x\right)$ kan det være lurt å skrive dem opp for seg selv først.

$\begin{array}{cll}u\left(x\right)=& x^3+2& v\left(x\right)=x^2\\ u^{\text{'}}\left(x\right)=& 3x^2& v^{\text{'}}\left(x\right)=2x\end{array}$

$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)& = & \frac{x^3+2}{x^2}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)-u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{\stackrel{u\text{'}\left(x\right)}{\overbrace{3x^2}}·\stackrel{v\left(x\right)}{\overbrace{x^2}}-\stackrel{u\left(x\right)}{\overbrace{\left(x^3+2\right)}}·\stackrel{v\text{'}\left(x\right)}{\overbrace{2x}}}{\stackrel{v{\left(x\right)}^2}{\overbrace{{\left(x^2\right)}^2}}}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{3x^4-2x^4-4x}{x^4}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{x^4-4x}{x^4}=\frac{x\left(x^3-4\right)}{x^4}=\frac{x^3-4}{x^3}\end{array}$

Eksempel 2

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}$

$\begin{array}{cll}u\left(x\right)=& x+1& v\left(x\right)=x+2\\ u^{\text{'}}\left(x\right)=& 1& v^{\text{'}}\left(x\right)=1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1·\left(x+2\right)-\left(x+1\right)·1}{{\left(x+2\right)}^2}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & = & \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}\end{array}$

Bevis for kvotientregelen

Husk at $f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ kan skrives som $f\left(x\right)=u\left(x\right)·\frac{1}{v\left(x\right)}$

og som $u\left(x\right)·\frac{1}{v\left(x\right)}=u\left(x\right)·v{\left(x\right)}^{-1}$.

Vi bruker produktregelen

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& u\left(x\right)·v\left(x\right)\\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)+u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}$

når vi vil bevise kvotientregelen:

$\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& =& \stackrel{u\text{'}\left(x\right)}{\overbrace{u^{\text{'}}\left(x\right)}}·\stackrel{v\left(x\right)}{\overbrace{v{\left(x\right)}^{-1}}}+\stackrel{u\left(x\right)}{\overbrace{u\left(x\right)}}·\stackrel{v\text{'}\left(x\right)}{\overbrace{{\left(v{\left(x\right)}^{-1}\right)}^{\text{'}}}}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& u^{\text{'}}\left(x\right)·\frac{1}{v\left(x\right)}+\stackrel{\leftrightarrows }{\overbrace{u\left(x\right)·\left(-1\right)}}·v{\left(x\right)}^{\stackrel{-2}{\overbrace{-1-1}}}·v^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)}{v\left(x\right)}-u\left(x\right)·v{\left(x\right)}^{-2}·v^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)}{v\left(x\right)}-\frac{u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2}\end{array}\end{array}$

For å få lik nevner kan vi multiplisere den første brøken med $v\left(x\right)$ i telleren og nevneren:

$\begin{array}{ccc}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)}{v\left(x\right)·v\left(x\right)}-\frac{{\displaystyle u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}}{{\displaystyle v{\left(x\right)}^2}}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)-u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2}\end{array}$