Oppgave

Grunnleggende derivasjonsregler

Her kan du øve på de grunnleggende derivasjonsreglene.

Oppgave 1

$f (x) = π$

Bruk definisjonen til den deriverte til å derivere $f (x)$ .

Definisjonen til den deriverte

$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x} \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & π \\ f^{'} (x) & = & \lim_{∆ x \to 0} \frac{f (x + ∆ x) - f (x)}{∆ x} \\ = & \lim_{∆ x \to 0} \frac{π - π}{∆ x} = 0 \end{array}$

Oppgave 2

Deriver funksjonene ved å bruke regneregler for derivasjon.

a) $f (x) = 5$

b) $y = e$

c) $g (x) = π + 5$

d) $h (x) = 5 π^{3}$

e) $i (x) = 2 b$

f) $j (x) = x + d$

g) $k (x) = 3 y + 8$

Løsning

a) $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 5 \\ f^{'} (x) & = & 0 \end{array}$

b) $\begin{array}{rcl} y & = & e \\ y^{'} & = & 0 \end{array}$

c) $\begin{array}{rcl} g (x) & = & π + 5 \\ g^{'} (x) & = & 0 \end{array}$

d) $\begin{array}{rcl} h (x) & = & 5 π^{3} \\ h^{'} (x) & = & 0 \end{array}$

e) $\begin{array}{rcl} i (x) & = & 2 b \\ i^{'} (x) & = & 0 \end{array}$

f) $\begin{array}{rcl} j (x) & = & x + d \\ j^{'} (x) & = & 1 \end{array}$

g) $\begin{array}{rcl} k (x) & = & 3 y + 8 \\ k^{'} (x) & = & 0 \end{array}$

Oppgave 3

Vi har funksjonen $f (x) = 7$ .

Tegn funksjonen med digital graftegner, finn stigningstallet til funksjonen, og forklar med egne ord hvorfor stigningstallet er det det er.

Løsning

Vi tegner $f (x)$ med digital graftegner:

Grafen til f av x er lik 7 er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier fra minus 4 til 10. Over grafen står det a er lik 0. Illustrasjon.

Stigningstallet til $f (x)$ er lik 0. Det kan man finne med digital graftegner, se bildet over der $a = 0$ . Når stigningstallet er 0, har grafen ingen positiv eller negativ stigning. Den er 0 for hele $f (x) .$

Oppgave 4

Deriver funksjonene uten hjelpemidler.

a) $f (x) = x^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} \\ f^{'} (x) & = & 2 x^{2 - 1} \\ = & 2 x \end{array}$

b) $y (x) = x^{5}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} y (x) & = & x^{5} \\ y^{'} (x) & = & 5 x^{5 - 1} \\ = & 5 x^{4} \end{array}$

c) $g (x) = 5 x^{7}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 5 x^{7} \\ g^{'} (x) & = & 5 \cdot 7 x^{7 - 1} \\ = & 35 x^{6} \end{array}$

d) $y (x) = x^{- 5}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} y (x) & = & x^{- 5} \\ y^{'} (x) & = & - 5 x^{- 5 - 1} \\ = & - 5 x^{- 6} eller \\ = & - \frac{5}{x^{6}} \end{array}$

e) $g (x) = 3 x^{- 4}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 3 x^{- 4} \\ g^{'} (x) & = & 3 \cdot (- 4) x^{- 4 - 1} \\ = & - 12 x^{- 5} eller \\ = & \frac{- 12}{x^{5}} \end{array}$

f) $f (t) = - 6 t^{3}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & - 6 t^{3} \\ f^{'} (t) & = & - 6 \cdot 3 t^{3 - 1} \\ = & - 18 t^{2} \end{array}$

Oppgave 5

Deriver funksjonene uten hjelpemidler.

a) $f (x) = x^{0}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{0} \\ = & 1 \\ f^{'} (x) & = & 0 \end{array}$

b) $y (x) = \frac{1}{x^{5}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} y (x) & = & \frac{1}{x^{5}} \\ = & x^{- 5} \\ y^{'} (x) & = & - 5 x^{- 6} \\ = & - \frac{5}{x^{6}} \end{array}$

c) $g (x) = 5 \sqrt{x}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 5 \sqrt{x} \\ = & 5 x^{\frac{1}{2}} \\ g^{'} (x) & = & 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} \\ = & \frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}} \\ = & \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \\ = & \frac{5}{2 \sqrt{x}} \end{array}$

d) $z (t) = \frac{1}{\sqrt{t}}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} z (t) & = & \frac{1}{\sqrt{t}} \\ = & t^{- \frac{1}{2}} \\ z {(t)}^{'} & = & - \frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2} - \frac{2}{2}} \\ = & - \frac{1}{2} t^{- \frac{3}{2}} \\ = & - \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}} \\ = & - \frac{1}{2 t^{\frac{2}{2}} \cdot t^{\frac{1}{2}}} \\ = & - \frac{1}{2 t \cdot \sqrt{t}} \end{array}$

e) $f (t) = 3 x^{2}$

Løsning

Husk at her skal vi derivere med hensyn på $t$ .

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & 3 x^{2} \\ f^{'} (t) & = & 0 \end{array}$

f) $f (t) = 2 t^{3}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & 2 t^{3} \\ f^{'} (t) & = & 2 \cdot 3 t^{2} \end{array}$

Oppgave 6

Deriver funksjonsuttrykkene ved hjelp av reglene du har lært.

a) $f (x) = 4 x^{3} - 7 x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 4 x^{3} - 7 x \\ f^{'} (x) & = & 4 \cdot 3 x^{3 - 1} - 7 \\ = & 12 x^{2} - 7 \end{array}$

b) $g (x) = 3 x^{3} + x - 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 3 x^{3} + x - 2 \\ g^{'} (x) & = & 3 \cdot 3 x^{3 - 1} + 1 \\ = & 9 x^{2} + 1 \end{array}$

c) $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 7 \\ g^{'} (x) & = & \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{2 - 1} - 2 \\ = & x - 2 \end{array}$

d) $g (t) = 2 (2 t^{3} + 3)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (t) & = & 2 (2 t^{3} + 3) \\ g^{'} (t) & = & 2 (2 \cdot 3 t^{3 - 1}) \\ = & 2 (6 t^{2}) \\ = & 12 t^{2} \end{array}$

e) $\begin{array}{rcl} h (x) & = & (2 x + 3) (x + 1) \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} h (x) & = & (2 x + 3) (x + 1) \\ = & 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1 \\ = & 2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3 \\ = & 2 x^{2} + 5 x + 3 \\ h^{'} (x) & = & 2 \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ = & 4 x + 5 \end{array}$

f) $i (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} i (x) & = & \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{4}}{4} \\ = & \frac{1}{3} \cdot x^{3} + \frac{1}{4} \cdot x^{4} \\ i^{'} (x) & = & \frac{1}{3} \cdot 3 x^{3 - 1} + \frac{1}{4} \cdot 4 x^{4 - 1} \\ = & x^{2} + x^{3} \end{array}$

Oppgave 7

Deriver funksjonsuttrykkene ved hjelp av reglene du har lært. Finn deretter $f^{'} (0)$ og $f^{'} (2)$ .

a) $f (x) = x^{2} - 6$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & x^{2} - 6 \\ f^{'} (x) & = & 2 x \\ f^{'} (0) & = & 2 \cdot 0 = 0 \\ f^{'} (2) & = & 2 \cdot 2 = 4 \end{array}$

b) $f (x) = - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 2$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & - 3 x^{3} + 5 x^{2} - 2 \\ f^{'} (x) & = & - 3 \cdot 3 x^{3 - 1} + 5 \cdot 2 x^{2 - 1} \\ = & - 9 x^{2} + 10 x \\ f^{'} (0) & = & 0 \\ f^{'} (2) & = & - 9 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 \\ = & - 16 \end{array}$

c) $f (x) = 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 5 x \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 3 x^{3 - 1} - \frac{1}{2} \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ = & 9 x^{2} - x + 5 \\ f^{'} (0) & = & 9 \cdot 0^{2} - 0 + 5 \\ = & 5 \\ f^{'} (2) & = & 9 \cdot 2^{2} - 2 + 5 \\ = & 39 \end{array}$

d) $f (x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x)$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x) \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 2 x - \frac{1}{2}) \\ = & \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2}) \\ = & \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \\ f^{'} (0) & = & \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \\ = & - \frac{1}{4} \\ f^{'} (2) & = & \frac{1}{4} \cdot 2 - \frac{1}{4} \\ = & \frac{1}{4} \end{array}$

Oppgave 8

Vi tester ut derivasjon med ulike hjelpemidler.

a) Uten hjelpemidler: Deriver funksjonen $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ , og finn $f^{'} (0) og f^{'} (1)$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 4 x^{2} + 5 x \\ f^{'} (x) & = & 4 \cdot 2 x^{2 - 1} + 5 \\ = & 8 x + 5 \\ f^{'} (0) & = & 8 \cdot 0 + 5 = 5 \\ f^{'} (1) & = & 8 \cdot 1 + 5 = 13 \end{array}$

b) Deriver funksjonen, og finn stigningen i punktene på grafen til $f$ der $x = 0$ og $x = 1$ ved hjelp av CAS.

Løsning

Vi bruker CAS til å løse oppgaven:

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 står det f av x kolon er lik 4 x i andre pluss 5 x. Svaret er det samme. På linje 2 står det f av x. Under dette står det Derivert kolon 8 x pluss 5. På linje 3 står det f derivert av 0. Svaret er 5. På linje 4 står det f derivert av 1. Svaret er 13. Skjermutklipp.

c) Bruk digital graftegner til å finne den momentane vekstfarten til funksjonen når $x = 0$ og $x = 1$ .

Løsning

Vi skriver inn funksjonsuttrykket. Vi bruker kommandoen Tangent(,) og tegner tangenter som berører grafen i punktene $x = 0$ og $x = 1$ . Vi bruker Stigning() og finner stigningen på tangentene. I punktet $x = 0$ er stigningen 5, og i punktet $x = 1$ er stigningen 13.

Grafen til funksjonen 4 x i andre pluss 5 x er tegnet for x-verdier mellom minus en halv til 4 komma 5. Grafen har en tangent i punktet der x er lik 0, og den har stigning lik 5. Grafen har også en tangent i punktet der x er lik 1, og den har stigning lik 13. Illustrasjon.

d) Hvis funksjonsuttrykket $f (x) = 4 x^{2} + 5 x$ viser antall bakterier i en liten bakteriekultur og $x$ er antall minutter etter midnatt, hva viser da $f^{'} (0) og f^{'} (1) ?$

Løsning

$f^{'} (0) = 5$ forteller oss at ved midnatt vokste bakteriekulturen med 5 bakterier i minuttet, mens $f^{'} (1) = 13$ forteller oss at kl. 00.01 om natten vokste bakteriekulturen med 13 bakterier i minuttet.

Oppgave 9

Løs oppgavene ved regning uten hjelpemidler.

a) Finn $f^{'} (1)$ når $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{4} - x^{2} + π \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 x^{4} - x^{2} + π \\ f^{'} (x) & = & 2 \cdot 4 x^{4 - 1} - 2 x^{2 - 1} \\ = & 8 x^{3} - 2 x \\ f^{'} (1) & = & 8 \cdot {(1)}^{3} - 2 \cdot 1 = 6 \end{array}$

b) Finn $f^{'} (0, 5)$ når $\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 a + 3 x^{2} \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 2 a + 3 x^{2} \\ f^{'} (x) & = & 0 + 3 \cdot 2 x^{2 - 1} \\ = & 6 x \\ f^{'} (0, 5) & = & 6 \cdot 0, 5 = 3 \end{array}$

c) Finn $f^{'} (0)$ når $f (x) = 3 x^{2} - b^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{2} - b^{2} \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 2 x^{2 - 1} - 0 \\ = & 6 x \\ f^{'} (0) & = & 6 \cdot 0 = 0 \end{array}$

d) Finn $f^{'} (- 1, 5)$ når $f (t) = 2 x + 3 t^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & 2 x + 3 t^{2} \\ f^{'} (t) & = & 0 + 3 \cdot 2 t \\ = & 6 t \\ f^{'} (- 1, 5) & = & 6 \cdot (- 1, 5) \\ = & - 9 \end{array}$

Oppgave 10

Deriver uttrykkene under uten hjelpemidler.

a) $f (x) = 3 x^{2} - z^{2}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & 3 x^{2} - z^{2} f (x) viser at vi skal \\ derivere med hensyn på x . \\ f^{'} (x) & = & 3 \cdot 2 x \\ = & 6 x \end{array}$

b) $f (t) = 2 x^{3} - 4 t^{2} + t$

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (t) & = & 2 x^{3} - 4 t^{2} + t f (t) viser at vi skal \\ derivere med hensyn på t . \\ f^{'} (t) & = & 0 - 4 \cdot 2 t + 1 \\ = & - 8 t + 1 \end{array}$

c) $g (x) = x^{3} - 2 z^{2} + x + π$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \\ g^{'} (x) & = & 3 x^{2} - 0 + 1 + 0 \\ = & 3 x^{2} + 1 \end{array}$

d) $\begin{array}{rcl} g (z) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} g (z) & = & x^{3} - 2 z^{2} + x + π \\ g^{'} (z) & = & 0 - 2 \cdot 2 z + 0 + 0 \\ = & - 4 z \end{array}$

Oppgave 11

Vi har uttrykket $x^{2} + 2 z - 2 x z$ .

a) Deriver uttrykket med hensyn på $x$ .

Løsning

$2 x + 0 - 2 z = 2 x - 2 z$

b) Deriver uttrykket med hensyn på $z$ .

Løsning

$0 + 2 - 2 x = 2 - 2 x$

c) Deriver uttrykket med hensyn på $t$ .

Løsning

$0 + 0 - 0 = 0$

Oppgave 12

Vi har uttrykket $3 x^{4} - 7 x y^{2} + 2 x z - \frac{1}{3} z^{3}$ .

a) Deriver uttrykket med hensyn på $x$ .

Løsning

$3 \cdot 4 x^{4 - 1} - 7 y^{2} + 2 z - 0 = 12 x^{3} - 7 y^{2} + 2 z$

b) Deriver uttrykket med hensyn på $y$ .

Løsning

$0 - 7 x \cdot 2 y + 0 - 0 = - 14 x y$

c) Deriver uttrykket med hensyn på $z$ .

Løsning

$0 - 0 + 2 x - \frac{1}{3} \cdot 3 z^{3 - 1} = 2 x - z^{2}$

d) Deriver uttrykket med hensyn på $t$ .

Løsning

$0 - 0 + 0 - 0 = 0$

Derivasjonsregler og deriverbarhet