Likningen for tangenten til en graf i et punkt

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2x^3-2x^2+2\\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 6x^2-4x\end{array}$

Vi finner først y-verdien til punktet der tangenten skal treffe funksjonen:

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& 2·1^3-2·1^2+2\\ & =& 2-2+2\\ & =& 2\\ & & \end{array}$

Stigningstallet til tangenten er det samme som den deriverte i dette punktet. Stigningstallet i $(1, f\left(1\right))$ er

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(1\right) & =& 6·1^2-4·1\\ & =& 2\end{array}$

Nå vet vi at tangenten går gjennom punktet $(1, 2)$ og har stigningstallet 2. Vi kan da bruke ettpunktsformelen for å finne likningen for tangenten.

$\begin{array}{rcl}y-y_1 & =& a(x-x_1)\\ y-2 & =& 2(x-1)\\ y & =& 2x\end{array}$

Vi bruker GeoGebra: Vi tegner grafen f. Så skriver vi (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangenten til f i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning ()" og leser av  $a=2$. Den deriverte til f i punktet $(1, 2)$ er 2.

Vi deriverer f og finner vekstfarten i punktene.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2x-2\\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& 2·0-2\\ & =& -2\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& 2·1-2\\ & =& 0\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(2\right) & =& 2·2-2\\ & =& 2\end{array}$

Vi bruker ettpunktsformelen og finner tangentene.

Tangentlikningen i punktet $(0, -2)$ blir

$\begin{array}{rcl}y-\left(-2\right) & =& -2\left(x-0\right)\\ y & =& -2x-2\end{array}$

Tangentlikningen i punktet $\mathrm{(1, }-\mathrm{3)}$ blir

$\begin{array}{rcl}y-\left(-3\right) & =& 0\left(x-1\right)\\ y & =& -3\end{array}$

Tangentlikningen i punktet $\mathrm{(2, }-\mathrm{2)}$ blir

$\begin{array}{rcl}y-\left(-2\right) & =& 2\left(x-2\right)\\ y & =& 2x-6\end{array}$

Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til f. Så skriver vi koordinatene til punktene inn algebrafeltet og får punktene på grafen. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangenten til f i punktene.

Når vekstfarten er negativ, vil grafen synke. Ved vekstfart lik 0 vil grafen verken stige eller synke. I vårt tilfelle vil det si bunnpunktet. Når vekstfarten er positiv, er grafen voksende.

Vi deriverer f og finner vekstfarten i punktene.

$\begin{array}{rcl}{g}^{\text{'}}\left(x\right)& = & -2x-2\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(-2\right)& =& -2·\left(-2\right)-2=2\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(-1\right)& =& -2·\left(-1\right)-2=0\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(0\right)& =& -2·0-2=-2\end{array}$

Vi bruker ettpunktsformelen og finner tangentene.

Tangentlikningen i punktet $\left(-2,-2\right)$ blir

$\begin{array}{rcl}y-\left(-2\right)& = & 2\left(x-\left(-2\right)\right)\\ y& =& 2x+2\end{array}$

Tangentlikningen i punktet $\left(-1,-1\right)$ blir

$\begin{array}{rcl}y-\left(-1\right)& = & 0\left(x-\left(-1\right)\right)\\ y& =& -1\end{array}$

Tangentlikningen i punktet $\left(0,-2\right)$ blir

$\begin{array}{rcl}y-\left(-2\right)& = & -2\left(x-0\right)\\ y& =& -2x-2\end{array}$

Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til f. Så skriver vi koordinatene til punktene inn algebrafeltet og får punktene på grafen. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangenten til f i punktene.