Den deriverte til logaritmefunksjonen

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& 2\ln x\\ & & \\ & =& 2·\ln x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·{\left(\ln x\right)}^{\text{'}}\\ & & \\ & =& 2·\frac{1}{x}\\ & & \\ & =& \frac{2}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& \ln 2x\\ & & \\ & =& \ln 2+\ln x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 0+\frac{1}{x}\\ & & \\ & =& \frac{1}{x}\end{array}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& \ln x^2 \\ \\ & & \\ & =& 2·\ln x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·\ln x^{\text{'}}\\ & & \\ & =& 2·\frac{1}{x}\\ & & \\ & =& \frac{2}{x}\end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& e^x+\ln x\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & =& e^x+\frac{1}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& e^x·\ln x\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(x\right) & =& {\left(e^x\right)}^{\text{'}}·\ln x+e^x·{\left(\ln x\right)}^{\text{'}}\\ & & \\ & =& e^x·\ln x+e^x·\frac{1}{x}\\ & & \\ & =& \frac{x{e}^x·\ln x+e^x}{x}\\ & & \\ & =& \frac{e^x\left(x·\ln x+1\right)}{x}\end{array}$

$\begin{array}{rcl}h\left(x\right)& =& \frac{e^x}{\ln x}\\ & & \\ h^{\text{'}}\left(x\right)& = & \frac{{\left(e^x\right)}^{\text{'}}·\ln x-e^x·\frac{1}{x}}{{\left(\ln x\right)}^2}\\ & & \\ & = & \frac{e^x·\ln x·x-e^x\frac{1}{x}·x}{{\left(\ln x\right)}^2·x}\\ & & \\ & =& \frac{e^x\left(x\ln x-1\right)}{x{\left(\ln x\right)}^2}\end{array}$

$f\left(x\right)=2·3^x+5\ln x$

Det er den deriverte som gir oss svaret på dette, så vi må finne $f^{\text{'}}\left(3\right)$:

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·3^x·\ln 3+5·\frac{1}{x}\\ & & \\ & =& 2\left(3^x\ln 3\right)+\frac{5}{x}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(3\right) & =& 2\left(3^3\ln 3\right)+\frac{5}{3}\\ & & \\ & =& 60,99\approx 61,0\end{array}$

$g\left(t\right)=4(\ln t{)}^2$

Vi bruker kjerneregelen og regel for derivasjon av logaritmefunksjoner:

$\begin{array}{rcl}u& =& \ln t\\ u^{\text{'}}& =& \frac{1}{t}\\ g\left(u\right)& =& 4u^2\\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 8u\\ g^{\text{'}}\left(t\right)& =& u^{\text{'}}·g^{\text{'}}\left(u\right)\\ & =& \frac{1}{t}·8·\ln t\\ & & \frac{8\ln t}{t}\\ g^{\text{'}}\left(3\right)& =& \frac{8·\ln 3}{3}\approx 2,93\end{array}$

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Dette vil si at årsomsetningen er cirka 3,8 millioner kroner om 3 år.

Vi bruker CAS i GeoGebra:

Det vil ta omtrent $5$ år og $3$ måneder til firmaet har en årsomsetning på $20$ millioner kroner. Avrundet til hele år vil det ta $6$ år før firmaet har en årsomsetning på over $20$ millioner kroner.

Det er den deriverte som gir oss økningen i årsomsetning. Vi bruker CAS i GeoGebra:

Vi bruker GeoGebra:

Om fem år øker årsomsetningen med 7,5 millioner kroner per år.