Brøkregelen for derivasjon

Akkurat som for produktfunksjonar har vi ein eigen regel for å derivere brøkfunksjonar:

Den deriverte til ein brøk blir ein ny brøk der nemnaren er kvadratet av den opphavlege nemnaren. Teljaren liknar på uttrykket til den deriverte av eit produkt, men skilnaden er at det står minusteikn mellom ledda. Det er derfor viktig med rett rekkjefølgje på ledda i teljaren: start med å derivere teljaren.

Døme 1

Vi ønsker å derivere funksjonen f gitt ved

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{x^3+2}{x^2}\end{array}$

Det kan vere lurt å skrive opp u og v og derivere dei først.

$\begin{array}{rll}u& =& x^3+2, v=x^2\\ u\text{'}& =& 3x^2, v\text{'}=2x\end{array}$

Så deriverer vi f:

$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)& = & \frac{x^3+2}{x^2}\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& \frac{u\text{'}·v-u·v\text{'}}{v^2}\\ & =& \frac{\stackrel{u\text{'}}{\overbrace{3x^2}}·\stackrel{v}{\overbrace{x^2}}-\stackrel{u}{\overbrace{\left(x^3+2\right)}}·\stackrel{v\text{'}}{\overbrace{2x}}}{\underset{v^2}{\underbrace{{\left(x^2\right)}^2}}}\\ & =& \frac{3x^4-2x^4-4x}{x^4}\\ & =& \frac{x^4-4x}{x^4}=\frac{x\left(x^3-4\right)}{x^4}=\frac{x^3-4}{x^3}\end{array}$

Døme 2

Vi ønsker å derivere funksjonen f gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}$

Vi gjer det same som i det førre dømet:

$\begin{array}{cll}u& =& x+1, v=x+2\\ u\text{'}& =& 1, v\text{'}=1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right) & =& \frac{1·\left(x+2\right)-\left(x+1\right)·1}{{\left(x+2\right)}^2}\\ & =& \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}\end{array}$

Film: Brøkregelen ved derivasjon

I filmen under (lengde 4:21) får du ein gjennomgang av døme 1 over.