Brøkregelen for derivasjon

Akkurat som for produktfunksjonar har vi ein eigen regel for å derivere brøkfunksjonar:

$\begin{array}{lccccl}f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}& & & \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& & f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)-u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}{\left(v\right(x){)}^2}\\ & & & \begin{array}{ccc}& & \end{array}& & \\ f=\frac{u}{v}& & & \begin{array}{ccc}& \Rightarrow & \end{array}& & f^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}·v-u·v^{\text{'}}}{v^2}\end{array}$

$f$, $u$ og $v$ er funksjonar av $x$ og skal deriverast med omsyn på $x$. I den andre linja ovanfor har vi brukt ein litt forenkla skrivemåte.

Den deriverte til ein brøk blir ein ny brøk der nemnaren er kvadratet av den opphavlege nemnaren. Teljaren liknar på uttrykket til den deriverte av eit produkt, men skilnaden er at det står minusteikn mellom ledda. Det er derfor viktig med rett rekkjefølgje på ledda i teljaren. Start med å derivere teljaren.

Døme 1

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{x^3+2}{x^2}\end{array}$

For å ikkje blande $u\left(x\right) \mathrm{og} v\left(x\right)$ kan det vere lurt å skrive dei opp for seg sjølve først.

$\begin{array}{cll}u\left(x\right)=& x^3+2& v\left(x\right)=x^2\\ u^{\text{'}}\left(x\right)=& 3x^2& v^{\text{'}}\left(x\right)=2x\end{array}$

$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)& = & \frac{x^3+2}{x^2}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)-u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{\stackrel{u\text{'}\left(x\right)}{\overbrace{3x^2}}·\stackrel{v\left(x\right)}{\overbrace{x^2}}-\stackrel{u\left(x\right)}{\overbrace{\left(x^3+2\right)}}·\stackrel{v\text{'}\left(x\right)}{\overbrace{2x}}}{\stackrel{v{\left(x\right)}^2}{\overbrace{{\left(x^2\right)}^2}}}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{3x^4-2x^4-4x}{x^4}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{x^4-4x}{x^4}=\frac{x\left(x^3-4\right)}{x^4}=\frac{x^3-4}{x^3}\end{array}$

Døme 2

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x+2}$

$\begin{array}{cll}u\left(x\right)=& x+1& v\left(x\right)=x+2\\ u^{\text{'}}\left(x\right)=& 1& v^{\text{'}}\left(x\right)=1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{1·\left(x+2\right)-\left(x+1\right)·1}{{\left(x+2\right)}^2}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right) & = & \frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}\end{array}$

Bevis for kvotientregelen

Hugs at $f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}$ kan skrivast som $f\left(x\right)=u\left(x\right)·\frac{1}{v\left(x\right)}$

og som $u\left(x\right)·\frac{1}{v\left(x\right)}=u\left(x\right)·v{\left(x\right)}^{-1}$.

Vi bruker produktregelen

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& u\left(x\right)·v\left(x\right)\\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)+u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)\end{array}$

når vi vil bevise kvotientregelen:

$\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& =& \stackrel{u\text{'}\left(x\right)}{\overbrace{u^{\text{'}}\left(x\right)}}·\stackrel{v\left(x\right)}{\overbrace{v{\left(x\right)}^{-1}}}+\stackrel{u\left(x\right)}{\overbrace{u\left(x\right)}}·\stackrel{v\text{'}\left(x\right)}{\overbrace{{\left(v{\left(x\right)}^{-1}\right)}^{\text{'}}}}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& u^{\text{'}}\left(x\right)·\frac{1}{v\left(x\right)}+\stackrel{\leftrightarrows }{\overbrace{u\left(x\right)·\left(-1\right)}}·v{\left(x\right)}^{\stackrel{-2}{\overbrace{-1-1}}}·v^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)}{v\left(x\right)}-u\left(x\right)·v{\left(x\right)}^{-2}·v^{\text{'}}\left(x\right)\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)}{v\left(x\right)}-\frac{u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2}\end{array}\end{array}$

For å få lik nemnar kan vi multiplisere den første brøken med $v\left(x\right)$ i teljaren og nemnaren:

$\begin{array}{ccc}{f}^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)}{v\left(x\right)·v\left(x\right)}-\frac{{\displaystyle u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}}{{\displaystyle v{\left(x\right)}^2}}\\ & & \\ f^{\text{'}}\left(x\right)& =& \frac{u^{\text{'}}\left(x\right)·v\left(x\right)-u\left(x\right)·v^{\text{'}}\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2}\end{array}$