Kjerneregelen

Derivasjon av samansette funksjonar

Mange funksjonar er meir kompliserte enn dei vi har studert til no, men ser vi meir nøye etter, viser det seg ofte at dei er sette saman av enklare funksjonar. Til dømes kan funksjonen f gitt ved $f\left(x\right)={\left(x^3+2\right)}^4$ bli oppfatta som ein samansett funksjon. Først skal ein gitt x-verdi opphøgjast i tredje potens og adderast til talet 2. Vi kallar denne funksjonen for u og seier at

$u\left(x\right)=x^3+2$

er kjernefunksjonen.

Då er til dømes

$u\left(1\right)=1^3+2=3$

Neste steg er at det resultatet som u gir, skal opphøgjast i fjerde potens. Vi oppfattar òg dette som ein eigen funksjon, og vi kallar denne funksjonen for g. Merk at denne funksjonen ikkje er ein funksjon av x, han er ein funksjon av u, og vi får at

$g\left(u\right)=u^4$

Då er

$g\left(3\right)=3^4=81$

Den opphavlege funksjonen f er då gitt ved

$f\left(x\right)=g\left(u\left(x\right)\right)$

og vi får at

$f\left(1\right)=g\left(u\right(1\left)\right)=g(1^3+2)=g\left(3\right)=3^4=81$

Poenget er at både u gitt ved $u\left(x\right)=x^3+2$ og g gitt ved $g\left(u\right)=u^4$ er funksjonar som vi kan derivere:

$\begin{array}{rcl}{u}^{\text{'}}\left(x\right)& = & 3x^2\\ & & \\ g^{\text{'}}\left(u\right)& =& 4u^3\end{array}$

Funksjonen u er derivert med omsyn på x, og funksjonen g er derivert med omsyn på u.

Døme 1

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & {\left(x^3+2\right)}^4\\ & & \\ g\left(u\right)& =& u^4 , u\left(x\right)=x^3+2\\ & & \\ g\text{'}\left(u\right)& =& 4u^3 , u\text{'}\left(x\right)=3x^2\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& g\text{'}\left(u\right)·u\text{'}\left(x\right)\\ & =& 4{\left(x^3+2\right)}^3·\left(3x^2\right)\\ & =& 12x^2{\left(x^3+2\right)}^3\end{array}$

Døme 2

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \sqrt{x-1}\\ & & \\ g\left(u\right)& =& \sqrt{u} , u\left(x\right)=x-1\\ & & \\ g\text{'}\left(u\right)& =& \frac{1}{2\sqrt{u}} , u\text{'}\left(x\right)=1\\ & & \\ f\text{'}\left(x\right)& =& g\text{'}\left(u\right)·u\text{'}\left(x\right)\\ & =& \frac{1}{2\sqrt{x-1}}·1\\ & =& \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\end{array}$

Bevis for brøkregelen

Når vi kjenner kjerneregelen, kan vi bevise brøkregelen for derivasjon. Vi set $f\left(x\right)=\frac{u}{v}$ og skriv om til $f\left(x\right)=u·\frac{1}{v}=u·v^{-1}$.

No kan vi bruke produktregelen til å derivere f . Vi skriv produktregelen med funksjonane a og b for ikkje å blande dei saman med u og v.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& a·b\\ f\text{'}\left(x\right) & =& a\text{'}·b+a·b\text{'}\end{array}$

Så deriverer vi, og bruker kjerneregelen når vi deriverer $v^{-1}$:

$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right)& =& \stackrel{a\text{'}}{\overbrace{u\text{'}}}·\stackrel{b}{\overbrace{v^{-1}}}+\stackrel{a}{\overbrace{u}}·\stackrel{b\text{'}}{\overbrace{\left(v^{-1}\right)\text{'}}}\\ & & \\ & =& u\text{'}·\frac{1}{v}+u·\left(-1\right)·v^{-1-1}·v\text{'}\\ & & \\ & =& \frac{u\text{'}}{v}-u·v^{-2}·v\text{'}\\ & & \\ & =& \frac{u\text{'}}{v}-\frac{u·v\text{'}}{v^2}\end{array}\end{array}$

For å få lik nemnar kan vi gange den første brøken med v i teljaren og nemnaren:

$\begin{array}{ccc}f\text{'}\left(x\right)& =& \frac{u\text{'}·v}{v·v}-\frac{{\displaystyle u·v\text{'}}}{{\displaystyle v^2}}\\ & =& \frac{u\text{'}·v-u·v\text{'}}{v^2}\end{array}$

Film: Kjerneregelen

I filmen under (lengde 2:54) får du ein gjennomgang av døme 1 over.