Fagstoff

Likninga for tangenten til ein graf i eit punkt

Vi finn likninga til tangenten til eit punkt på grafen til ein funksjon ved å bruke den deriverte funksjonen og eittpunktsformelen.

Ein funksjon f er gitt ved

Funksjonen f av x er lik 3 multiplisert med x i tredje minus 2 multiplisert med x i andre minus 1 er teikna i eit koordinatsystem med x frå minus 3 til 5. Skjermutklipp.

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1$

Kva er stigninga i punktet $x = 1$ ?

Vi finn likninga for tangenten til grafen når $x = 1$ .

Vi veit at tangenten må gå gjennom punktet $(1, f (1))$ . Derfor finn vi først $f (1)$ :

$\begin{array}{rcl} f (1) & = & 3 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 \\ = & 3 - 2 - 1 = 0 \end{array}$

Vi veit at stigningstalet til tangenten er lik den deriverte i tangeringspunktet. Tangeringspunktet er der $x = 1$ . Vi finn derfor $f^{'} (x)$ først:

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x$

Så vil vi finne tangenten når $x = 1$ . Vi reknar ut $f^{'} (1)$ :

$f^{'} (1) = 9 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

No veit vi at tangenten går gjennom punktet $(1, 0)$ og har stigningstal 5. Vi kan då bruke eittpunktsformelen og finne likninga for tangenten:

$\begin{array}{rcl} y - y_{1} & = & a (x - x_{1}) \\ y - 0 & = & 5 (x - 1) \\ y & = & 5 x - 5 \end{array}$

Utforsking

Vis at du kan kome fram til denne løysinga utan å bruke eittpunktsformelen.

Framgangsmåte

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 1$

Vi bruker likninga for ei rett linje $y = a x + b$ .

$x = 1$ må vere eit punkt på linja og på $f (x)$ .

$f (1) = 3 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 1 = 0$

Vi får punktet $(1, 0)$ som blir sett inn i likninga for ei rett linje:

$0 = a \cdot 1 + b$

Stigningstalet til tangenten er lik den deriverte

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x$

$f^{'} (1) = 9 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$ $a = 5$

i tangeringspunktet:

$\begin{array}{rcl} 0 & = & 5 \cdot 1 + b \\ - b & = & 5 \\ b & = & - 5 \end{array}$

Vi endar med formelen

$y = 5 x - 5$

Derivasjonsreglar og deriverbarheit

Utforsking