Annuitetslån og noverdiar

Vi skriv opp dei fem første ledda og multipliserer med $$ \frac{1}{1,{05}^5}$$:

$$ \begin{array}{rcl}& & \left(x+x·1,05+x·1,{05}^2+x·1,{05}^3+x·1,{04}^4\right)·\frac{1}{1,{05}^5}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& =& \frac{x}{1,{05}^5}+\frac{x}{1,{05}^4}+\frac{x}{1,{05}^3}+\frac{x}{1,{05}^2}+\frac{x}{1,{05}^1}\end{array}$$

Vi legg merke til at dette er akkurat dei same uttrykka som dei fem første ledda i rekka gitt ved $$ $ a_n=\frac{x}{1,{05}^n}$$$.

Vi gjer det same som i a), men med heile rekka:

$$ \frac{1}{1,{05}^n}·$ \sum _{n=1}^{n}x·1,{05}^{n-1}$ = $$

$$ \frac{1}{1,{05}^n}\left(x+x·1,05+...+x·1,{05}^{n-2}+x·1,{05}^{n-1}\right)=$$

$$ \frac{x}{1,{05}^n}+\frac{x}{1,{05}^{n-1}}+...+\frac{x}{1,{05}^2}+\frac{x}{1,{05}^1}=$$

$$ \sum _{n=1}^n\frac{x}{1,{05}^n}$$

$$ \begin{array}{rcl}$ $ \sum _{n=1}^{10}x·1,{05}^{n-1} $$& =& 200 000·1,{05}^{10}\\ \frac{1}{1,{05}^{10}}·\sum _{n=1}^{10}x·1,{05}^{n-1} & =& \frac{1}{1,{05}^{10}}·200 000·1,{05}^{10}\\ \sum _{n=1}^{10}\frac{x}{1,{05}^n} & =& 200 000\end{array}$$

Vi ser at vi får den likninga vi brukte for å samanlikne noverdiar.

Hugs at lånet har 2 prosent rente per månad, og ikkje per år.

Vi får ein vekstfaktor på 1,02, og sidan renta skal leggast på kvar månad, har vi 24 periodar:

$$ \begin{array}{rcl}\mathrm{Lånebeløp} & =& \hspace{0.17em}60 000 ·1,{02}^{24} \\ & =& 96 506,2\\ & \approx & 96 506\end{array}$$

Lånebeløpet veks til meir enn 96 500 kroner dersom vi ikkje betaler ned på lånet.

Tenk først gjennom om du vil samanlikne noverdiar eller framtidige verdiar.

Sidan vi allereie har rekna ut verdien av lånebeløpet om 2 år, vel vi å samanlikne framtidige verdiar. Då veit vi at det siste beløpet vi betaler inn, kan samanliknast direkte med verdien til lånebeløpet om 2 år, mens vi må tenke oss at det første beløpet vi har sett inn, forrentar seg parallelt med lånebeløpet i 23 månader. Det gir at summen av dei framskrivne verdiane av lånebeløpet er gitt ved

$$ \sum _{n=1}^{24}x·1,{02}^{n-1}$$

Vi set dette uttrykket lik summen vi fann i a) og løyser likninga i GeoGebra:

Vi ser at terminbeløpet blir cirka 3 172 kroner.

Det er 24 terminbeløp:

$$ 3 172,27·24=76 134,48$$

Du må betale tilbake meir enn 76 000 kroner totalt.

Å kjøpe på avbetaling blir det same som å ta opp eit annuitetslån. Vi vel no å samanlikne noverdiar. Det betyr at vi får denne rekka:

$$ \frac{x}{1,{06}^1}+\frac{x}{1,{06}^2}+\frac{x}{1,{06}^3}+\frac{x}{1,{06}^4}+\frac{x}{1,{06}^5}$$

Dette betyr at $$ a_1=\frac{x}{1,06}$$, $$ k=\frac{1}{1,06}$$ og $$ a_n =\frac{x}{1,{05}^n}$$.

Det gir likninga

$$ \sum _{n=1}^5\frac{x}{1,{06}^n}=100 000$$

Ho har løysinga

$$ x=23 739,6\approx 23 740$$

Den årlege innbetalinga er på cirka 23 740 kroner.

Vi finn først ut kor mykje du må betale til saman, og så trekker vi frå dei 100 000 kronene bilen kosta:

$$ \begin{array}{rcl}23 739,6·5 -100 000 & =& 18 698\end{array}$$

Du må altså betale 18 698 kroner i renter dersom du kjøper bilen på avbetaling.

Vi vel her å samanlikne noverdiar. Vi kjenner terminbeløpet, men ikkje vekstfaktoren. Vi set vekstfaktor $$ =x$$. Då får vi ei rekke der $$ a_1=\frac{9 000}{x}$$, mens $$ k=\frac{1}{x}$$. Det gir denne likninga:

$$ \sum _{n=1}^3\frac{9 000}{x^n}=24 000$$

Vi løyser ho ved hjelp av eit digitalt verktøy og får at

$$ x=1,0613\approx 1,061$$

Sidan vekstfaktoren er 1,061, betyr det at renta er 6,1 prosent.

Vi finn først ut kva du må betale for pc-en etter rabatten:

$$ 24 000 \mathrm{kr}·0,95=22 800 \mathrm{kr}$$

Så finn vi terminbeløpet når du skal betale 36 terminar. Vi har då ei rekke der $$ a_1=\frac{x}{1,01}$$ og $$ k=\frac{1}{1,01}$$. Det gir denne likninga:

$$ \sum _{n=1}^{36}\frac{x}{1,{01}^n}=22 800$$

Vi løyser likninga digitalt og får

$$ x=757,28 \approx 757,3$$

Terminbeløpet er altså cirka 757 kroner.

For å kunne svare på det må vi samanlikne kor mykje du må betale for pc-en din med dei to avtalane.

Dersom du hadde kjøpt pc-en på avbetaling i butikken, ville du ha betalt $$ 3·9 000 \mathrm{kr} = 27 000 \mathrm{kr}.$$

Med forbrukslånet har du betalt $$ 36·757,3 \mathrm{kr} = 27 262,8 \mathrm{kr}$$.

Du kan sjå at du har betalt litt meir for pc-en med forbrukslånet, men kanskje var det verdt det for å sleppe å måtte betale tre store avdrag i slutten av kvart av dei tre åra?