Sparing
Vekstfaktor og geometriske rekker
Tidlegare har du jobba med vekstfaktor. Dette skal vi no ta med oss når vi skal rekne ut korleis ein sparekonto utviklar seg over tid.
Kva er vekstfaktor?
Dersom du har gløymt heilt kva vekstfaktor er, tilrår vi at du les artikkelen "Vekstfaktor og prosentvis endring".
Vi finn vekstfaktor slik:
Ved auke på prosent:
Ved nedgang på
Sparing over fleire år
Vi startar med å sjå på eit tilfelle der vi set inn 8 000 kroner på ein sparekonto. Vi lar pengane stå i 4 år med 3 prosent rente, noko som gir ein vekstfaktor på 1,03. Vi kan rekne ut kor mykje dette har vakse til om 4 år:
Kva skjer dersom vi set inn 8 000 kroner på denne kontoen kvart år? Kva står det då på kontoen om 4 år? Det første beløpet vi set inn, vil forrente seg i 4 år, som vi såg over. Det andre beløpet vi set inn, vil forrente seg i 3 år og så vidare. Vi skaffar oss oversikt i ein tabell:
Tidspunkt for innskot | Innsett beløp | Renteår | Saldotidspunkt | |||
---|---|---|---|---|---|---|
| 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 1.1.2022 | |
01.01.2018 | 8 000 | x | x | x | x | |
01.01.2019 | 8 000 |
| x | x | x | |
01.01.2020 | 8 000 |
|
| x | x | |
01.01.2021 | 8 000 |
|
| x | ||
01.01.2022 | 8 000 |
Legg merke til at det siste beløpet vi set inn, ikkje rekk å forrente seg i det heile.
Dersom vi no skal finne ut kor mykje som står på kontoen, legg vi saman dei 5 beløpa i kolonnen til høgre:
Dette kan vi kjenne igjen som ei geometrisk rekke med 5 ledd der
Vi kan finne summen anten ved å bruke formelen for
Vi tenker oss ein situasjon der vi har spart i 10 år, og i staden for å setje inn det 11. beløpet vel vi å ta ut det som står på kontoen. Då får vi ei rekke som liknar på ho vi har over, med
Svar
Vi må tenke på at det første beløpet vi set inn, får ti heile renteår, mens det siste beløpet vi set inn, får eitt heilt renteår. Det betyr at vi får at
Tidspunkt for innskot | Innsett beløp | Renteår | Saldotidspunkt | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2018 | 2019 | ... | 2026 | 2027 | 31.12.2027 | |
01.01.2018 | 8 000 | x | x | x | x | x | |
01.01.2019 | 8 000 |
| x | x | x | x | |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
01.01.2026 | 8 000 |
|
| x | x | ||
01.01.2027 | 8 000 | x |
Denne rekka gir oss den eksplisitte formelen
Vi finn ut kor mykje vi kan ta ut ved å finne summen av dei 10 første ledda i rekka:
Reknedøme
Vi ønsker å finne ut kor lang tid det tek før det står meir enn 60 000 kroner på kontoen. Vi bruker den rekka der
Vi løyser i GeoGebra og ser at vi får til svar at
Forklaring
Nei, vi er ikkje i mål!
Vi må hugse på at summar av rekker er ikkje kontinuerlege funksjonar. Dersom vi lar pengane stå urørte på kontoen, vil alle renter bli lagde til på den siste dagen i året. Det betyr at midt i det 7. året vil framleis beløpet på kontoen vere mindre enn 60 000 kroner, mens det vil bli momentant høgare enn 60 000 kroner anten 31. desember, då rentene blir lagde til, eller den 1. januar, då vi set inn det neste sparebeløpet.
At vi likevel får ei løysing på likninga vår over, heng saman med at GeoGebra sine algoritmar nok løyser denne likninga:
Uttrykket til venstre i denne likninga er kontinuerleg, sjølv om summen av rekka i seg sjølv ikkje er det. Som vi ser, kan vi likevel få interessant informasjon ut frå svaret vi fann. Vi veit at beløpet passerer 60 000 kroner etter at vi set inn det 6. beløpet. Så står det att å finne ut om beløpet passerer 60 000 kroner i løpet av det 7. året, om det passerer 60 000 kroner idet rentene for det 7. året blir lagde til, eller om det passerer 60 000 kroner idet vi set inn det 7. beløpet.
Vi reknar ut kor mykje som er på kontoen like før og like etter at vi set inn det 7. beløpet.
Vi er altså avhengig av det 7. sparebeløpet for å passere 60 000 kroner.