Sparing

Det siste beløpet Mads set inn, er $$ a_1$$, og like etter at det er sett inn, har det ikkje rokke å forrente seg i det heile. Det betyr at vi får at $$ a_1=20 000$$ og $$ k=1,04$$.

Ein eksplisitt formel for rekka blir

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 20 000·1,{04}^{n-1}\end{array}$$

$$ S_8$$ gir oss beløpet

$$ S_8=20 000·\frac{1,{04}^8-1}{1,04-1}=184 285$$

(Du kan sjølvsagt òg finne denne summen i GeoGebra dersom du ønsker det.)

Mads har 184 285 kroner på kontoen like etter at han har sett inn det 8. beløpet.

Det siste beløpet Mads set inn, er $$ a_1$$ her òg, men no har det fått forrente seg i eit år. Det betyr at vi får at $$ a_1=20 000·1,04$$. Vi har framleis at $$ k=1,04$$.

Ein eksplisitt formel for rekka blir

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1·k^{n-1}\\ & =& 20 000·1,04·1,{04}^{n-1}\\ & =& 20 000·1,{04}^n\end{array}$$

$$ S_8$$ gir oss beløpet

$$ S_8=20 000·1,04·\frac{1,{04}^8-1}{1,04-1}=191 656$$

Det står 191 656 kroner på kontoen eitt år etter at Mads set inn det 8. beløpet.

Vi kan bruke rekka frå b) til å finne ut kor mykje som står på kontoen like før Mads set inn det 8. beløpet, og så kan vi legge til dei 20 000 han set inn. Det betyr at vi må finne $$ S_7$$:

$$ S_7 = 164 285$$

$$ S_7 + 20 000 = 184 285$$

Vi vel rekka som angir summen like etter at eit innskot er gjord, og set dette lik 215 000:

Vi ser at beløpet vil passere 215 000 kroner ein gong etter at det 9. beløpet er sett inn. Vi sjekkar kva som skjer når rentene blir lagde til i slutten av året, altså kor mykje som står på kontoen like før det neste beløpet blir lagt til:

Vi ser at beløpet passerer 215 000 kroner ein gong i løpet av det 9. året. For å finne ut nøyaktig når Mads kan ta ut pengane sine, må vi ta utgangspunkt i beløpet som stod på kontoen like etter at det 9. beløpet blir sett inn. Vi bruker det vi fann vi i b), og legg til 20 000 kroner:

$$ 191 656 +20 000=211 656$$

Det gir denne likninga:

$$ \begin{array}{rcl}211 656·1,{04}^x & =& 215 000\\ x & =& 0,4\end{array}$$

Dette betyr at Mads kan ta pengane ut etter at 40 prosent av det 10. året har gått, det vil seie etter omtrent 5 månader.

1innskot = 20000
2vekstfaktor = 1.04
3Kontoetter = ["Beløp etter innskot",innskot]
4Kontofoer = ["Beløp før innskot",0]
5år = ["år",0]
6
7def konto(x):
8    return innskot*vekstfaktor**(x-1)
9
10for i in range (2,16):
11    Kontoetter.append(Kontoetter[i-1]+konto(i))
12    Kontofoer.append(Kontoetter[i]-innskot)
13    år.append(i-1)
14
15print(f"{år[0]:<5}{Kontofoer[0]:<20}{Kontoetter[0]:<20}")   
16
17for i in range(1,len(år)):
18    print(f"{år[i]:<5}{Kontofoer[i]:18.0f}{Kontoetter[i]:22.0f}")

Forklaring til programmet:

I dei to første linjene definerer vi storleiken på innskotet og vekstfaktoren.

I linje 3–5 opprettar vi lister for beløpet på kontoen før og etter innskot og talet på år. Legg merke til at det første året er år 0, sidan det er då Mads byrjar sparinga.

I linje 7 og 8 definerer vi funksjonen for ledda i rekka. Legg merke til at vi her har valt den rekka som reknar ut beløpet på kontoen like etter at Mads har gjort eit innskot.

I linje 10–13 har vi ei for-lykkje som legg til summane i listene.

I linje 15 skriv vi ut overskriftene med ei gitt kolonnebreidde.

I linje 17 og 18 skriv vi ut tala utan desimalar.

Med ei månadleg rente på 0,25 prosent er vekstfaktoren $$ k=1,0025$$. Vi skal sjekke kor mykje som står på kontoen når det siste beløpet som er sett inn, har fått forrente seg ein månad. Det betyr at $$ a_1=200·1,0025$$. Ein eksplisitt formel for rekka blir

$$ \begin{array}{rcl}{a}_n & =& 200·1,0025·1,{0025}^{n-1}\\ & =& 200·1,{0025}^n\end{array}$$

Torbjørn fyller 18 år 1. januar 2023, og på dette tidspunktet har bestemora sett inn pengar $$ 18·12=216$$ gonger.

Vi finn summen av dei 216 første ledda i rekka:

Det står omtrent 57 300 kroner på kontoen på Torbjørns 18-årsdag.

Her må vi rekne ut tre ulike beløp.

Det eine er summen av rekka med pengar frå bestemor, som held fram med å komme jamt og trutt kvar 1. januar. Denne summen kan vi finne ved hjelp av den same rekka som i a) og så legge på dei 200 kronene som kjem inn på 23-årsdagen hans. Vi må først finne ut kor mange ledd det blir i rekka:

$$ n=23·12=276$$

Så finn vi resultatet av den jamne sparinga som bestemor gjer:

I tillegg har vi dei 10 000 kronene som han fekk av bestemora i 18-årsdagsgåve. Desse pengane står stille og forrentar seg i 5 år:

$$ 10 000 \mathrm{kr} ·1,{03}^5 =11 593 \mathrm{kr}$$

Til slutt må vi rekne ut kor stort beløp som kjem ut av Torbjørns eiga sparing. Han set inn dei første 5 000 kronene 1. januar 2023 og dei siste 1. januar 2028. Dette blir 6 beløp, og det siste ikkje har rokke å forrente seg.

Det inneber at vi kan bruke ei geometrisk rekke med $$ a_1=5 000$$ og $$ k=1,03$$ for å finne dette beløpet:

Til slutt legg vi saman dei tre beløpa:

$$ 32 342 \mathrm{kr} + 11 593 \mathrm{kr} + 79 758 \mathrm{kr} =123 693 \mathrm{kr}$$

Dagen etter at Torbjørn har fylt 23 år, står det cirka 123 693 kroner på kontoen hans.