Oppgåver og aktivitetar

Likningar

Oppgåvene nedanfor kan løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan også prøve å løyse likningane med CAS i GeoGebra.

1.5.1

Set inn rett tal i kvar av rutene

a) $? + 4 = 6$

b) $? - 4 = 8$

c) $4 + ? - 2 = 1$

d) $3 - 7 + ? = 10$

e) $3 - ? = 12$

Vis fasit

a) $2 + 4 = 6$

b) $12 - 4 = 8$

c) $4 + - 1 - 2 = 1$

d) $3 - 7 + 14 = 10$

e) $3 - - 9 = 12$

1.5.2

Set inn rett tal i kvar av rutene

a) $2 \cdot ? + 2 = 8$

b) $3 \cdot ? - 3 = 6$

c) $7 \cdot ? - 3 = - 10$

d) $6 + 3 \cdot ? = 0$

e) $- 3 \cdot ? - 3 = 0$

Vis fasit

a) $2 \cdot 3 + 2 = 8$

b) $3 \cdot 3 - 3 = 6$

c) $7 \cdot - 1 - 3 = - 10$

d) $6 + 3 \cdot - 2 = 0$

e) $- 3 \cdot - 1 - 3 = 0$

1.5.3 Løys likningane.

Sjekk om du har rekna rett ved å sjå om venstre side er lik høgre side når du set løysinga di inn i den opphavlege likninga.

a) $3 x - 1 = 5$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 3 x - 1 & = & 5 \\ 3 x - 1 + 1 & = & 5 + 1 \\ 3 x & = & 6 \\ \frac{3 x}{3} & = & \frac{6}{3} \\ x & = & 2 \end{array}$

b) $5 x + 2 = 3 x - 2$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x - 3 x & = & - 2 - 2 \\ 2 x & = & - 4 \\ x & = & - \frac{4}{2} \\ x & = & - 2 \end{array}$

c) $5 x + 5 = - x + 11$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 5 x + x & = & 11 - 5 \\ 6 x & = & 6 \\ x & = & \frac{6}{6} \\ x & = & 1 \end{array}$

d) $- 3 x - 4 = x - 4$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} - 3 x - x & = & - 4 + 4 \\ - 4 x & = & 0 \\ x & = & \frac{0}{- 4} \\ x & = & 0 \end{array}$

e) $x - 2 = 4 + x$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - x & = & 4 + 2 \\ 0 x & = & 6 \\ Inga løysing \end{array}$

f) $2 (x - 2) = 4 x + 8$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2 x - 4 & = & 4 x + 8 \\ 2 x - 4 x & = & 8 + 4 \\ - 2 x & = & 12 \\ x & = & \frac{12}{- 2} \\ x & = & - 6 \end{array}$

g) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga over.

Løysingsforslag

Flytt –4 frå venstre side av likskapsteiknet over på høgre side og skift forteikn.
Flytt $4 x$ frå høgre side av likskapsteiknet over på venstre side og skift forteikn.
Trekk saman ledda på venstre side og på høgre side.
Divider på –2 på begge sider av likskapsteiknet.
Rekn ut høgre side.

1.5.4 Løys likningane

a) $2, 5 x - 3 = x + 1, 5$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 2, 5 x - x & = & 1, 5 + 3 \\ 1, 5 x & = & 4, 5 \\ x & = & \frac{4, 5}{1, 5} \\ x & = & 3, 0 \end{array}$

b) $0, 32 x - 1, 42 = - 1, 18 x + 1, 58$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 0, 32 x + 1, 18 x & = & 1, 58 + 1, 42 \\ 1, 50 x & = & 3, 00 \\ x & = & \frac{3, 00}{1, 50} \\ x & = & 2, 00 \end{array}$

c) $0, 5 (x - 3) = 0, 1 x + 0, 1$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 0, 5 x - 1, 5 & = & 0, 1 x + 0, 1 \\ 0, 5 x - 0, 1 x & = & 0, 1 + 1, 5 \\ 0, 4 x & = & 1, 6 \\ x & = & \frac{1, 6}{0, 4} \\ x & = & 4, 0 \end{array}$

d) $- 2 (3 - t) = - t + 2$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} - 6 + 2 t & = & - t + 2 \\ 2 t + t & = & 2 + 6 \\ 3 t & = & 8 \\ t & = & \frac{8}{3} \end{array}$

e) $- (s - 2) - 2 (s + 1) = 1 - s$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} - s + 2 - 2 s - 2 & = & 1 - s \\ - s - 2 s + s & = & 1 - 2 + 2 \\ - 2 s & = & 1 \\ s & = & \frac{1}{- 2} \\ s & = & - \frac{1}{2} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga over.

Løysingsforslag

Flytt –2 og 2 frå venstre side av likskapsteiknet over på høgre side, og skift forteikna.
Flytt $- s$ frå høgre side av likskapsteiknet over på venstre side og skift forteikn.
Trekk saman ledda på venstre side og på høgre side.
Divider med –2 på begge sider.
Flytt minusteiknet framfor brøken.

1.5.5 Løys likningane

a) $\frac{1}{2} x - 2 = \frac{1}{3} x - \frac{1}{6}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 6 \cdot \frac{1}{2} x - 6 \cdot 2 & = & 6 \cdot \frac{1}{3} x - 6 \cdot \frac{1}{6} \\ 3 x - 12 & = & 2 x - 1 \\ x & = & 11 \end{array}$

b) $\frac{x}{2} - 2 = \frac{x}{3} - \frac{1}{6}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 6 \cdot \frac{x}{2} - 6 \cdot 2 & = & 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot \frac{1}{6} \\ 3 x - 12 & = & 2 x - 1 \\ x & = & 11 \end{array}$

c) $\frac{1}{2} (2 x - 3) = - (x + \frac{3}{2})$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} x - \frac{3}{2} & = & - x - \frac{3}{2} \\ 2 \cdot x - 2 \cdot \frac{3}{2} & = & 2 \cdot (- x) - 2 \cdot \frac{3}{2} \\ 2 x - 3 & = & - 2 x - 3 \\ 4 x & = & 0 \\ x & = & \frac{0}{4} \\ x & = & 0 \end{array}$

d) $\frac{x - 2}{2} = \frac{2 - x}{3}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 6 \cdot \frac{(x - 2)}{2} & = & 6 \cdot \frac{(2 - x)}{3} \\ 3 \cdot (x - 2) & = & 2 \cdot (2 - x) \\ 3 x - 6 & = & 4 - 2 x \\ 5 x & = & 10 \\ x & = & 2 \end{array}$

e) $\frac{x - 1}{2} - 3 = \frac{3 - 2 x}{3} + \frac{x}{12}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} 12 \cdot \frac{(x - 1)}{2} - 12 \cdot 3 & = & 12 \cdot \frac{(3 - 2 x)}{3} + 12 \cdot \frac{x}{12} \\ 6 \cdot (x - 1) - 36 & = & 4 \cdot (3 - 2 x) + x \\ 6 x - 6 - 36 & = & 12 - 8 x + x \\ 13 x & = & 54 \\ x & = & \frac{54}{13} \end{array}$

f) Skriv med ord algoritmen for å løyse likninga over.

Løysingsforslag

Finn fellesnemnaren, som er 12.
Multipliser alle ledd med 12.
Forkort bort nemnarane.
Multipliser ut parentesane.
Flytt –6 og –36 over på høgre side av likskapsteiknet og skift forteikn på dei.
Flytt $- 8 x$ og $x$ over på venstre side av likskapsteiknet og skift forteikn på dei.
Trekk saman ledda på kvar side av likskapsteiknet.
Divider med 13 på begge sider av likskapsteiknet.

Merk at i løysingsforslaget på oppgåve e) viser vi ikkje alle trinna i algoritmen. Finn ut kva for trinn det er som ikkje blir vist.

g) Finst det ein generell algoritme for å løyse likningane på denne sida, altså likningar av første grad? Skriv ned den!

1.5.6 Løys likningane

a) $3 (\frac{x}{2} - \frac{4}{3}) = (\frac{3}{4} - \frac{x}{6}) 2$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3 x}{2} - \frac{12}{3} & = & \frac{6}{4} - \frac{2 x}{6} \\ 9 x - 24 & = & 9 - 2 x \\ 11 x & = & 33 \\ x & = & 3 \end{array}$

b) $3 (\frac{s}{4} - \frac{1}{10}) = (s - \frac{1}{5}) 2$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3 s}{4} - \frac{3}{10} & = & 2 s - \frac{2}{5} \\ 15 s - 6 & = & 40 s - 8 \\ - 25 s & = & - 2 \\ s & = & \frac{2}{25} \end{array}$

c) $\frac{3}{2} (t - 1) - 2 (\frac{1}{4} - t) = 0$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{2} t - \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 2 t & = & 0 \\ 2 \cdot \frac{3}{2} t - 2 \cdot \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 2 t & = & 2 \cdot 0 \\ 3 t - 3 - 1 + 4 t & = & 0 \\ 7 t & = & 4 \\ t & = & \frac{4}{7} \end{array}$

d) $\frac{1}{3} y - 3 y + 3 = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9}$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} y - 3 y + 3 & = & \frac{1}{6} - \frac{1}{9} y + \frac{1}{9} \\ 18 \cdot \frac{1}{3} y - 18 \cdot 3 y + 18 \cdot 3 & = & 18 \cdot \frac{1}{6} - 18 \cdot \frac{1}{9} y + 18 \cdot \frac{1}{9} \\ 6 y - 54 y + 54 & = & 3 - 2 y + 2 \\ - 46 y & = & - 49 \\ y & = & \frac{- 49}{- 46} \\ y & = & \frac{49}{46} \end{array}$

1.5.7

Stian, Erik og Øyvind delte ein pizza. Stian åt ein tredel, Erik åt to femdelar, og Øyvind åt resten.

Set opp ei likning og finn ut kor stor del av pizzaen Øyvind åt.

Vis fasit

Vi set Øyvind sin del lik $x$ , og vi kan setje opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{3} + \frac{2}{5} + x & = & 1 \\ \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} + \overset{3}{15} \cdot \frac{2}{5} + 15 \cdot x & = & 15 \cdot 1 \\ 5 + 6 + 15 x & = & 15 \\ 15 x & = & 15 - 11 \\ \frac{15 x}{15} & = & \frac{4}{15} \\ x & = & \frac{4}{15} \end{array}$

Vi kan også løyse likninga med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga ein tredjedel pluss 2 femdelar pluss x er lik 1. CAS-utklipp.

Øyvind åt $\frac{4}{15}$ av pizzaen.

1.5.8

Kristin, Anette og Ellen har til saman 1100 kroner. Ellen har dobbelt så mange pengar som Anette, og Kristin har 100 kroner mindre enn Ellen.

Set opp ei likning og finn ut kor mange pengar kvar av dei tre jentene har.

Vis fasit

Vi set Anette sitt beløp lik $x$ . Ellen sitt blir då $2 x$ og Kristin sitt beløp blir $2 x - 100$ . Då kan vi setje opp likninga

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} x + 2 x + (2 x - 100) & = & 1100 \\ 3 x + 2 x - 100 & = & 1100 \\ 5 x & = & 1100 + 100 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{1200}{5} \\ x & = & 240 \end{array} \end{array}$

Anette har $240 kroner$ , Ellen har $2 \cdot 240 kroner = 480 kroner$ og Kristin har $480 kroner - 100 kroner = 380 kroner$ .

Vi kan også løyse likninga med CAS i GeoGebra der vi i tillegg reknar ut kor mykje dei to andre har.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 2x pluss parentes 2x minus 100 parentes slutt er lik 1100. CAS-utklipp.

1.5.9

På en aktivitetsdag ved skulen valde 60 % av elevane fotball. Ein tredel valde volleyball. Dei siste 12 elevane hadde fått fritak.

Set opp en likning og finn ut kor mange elevar det er ved skulen.

Vis fasit

La $x$ vere antall elevar ved skulen. 60 % av elevane blir $\frac{60}{100} x = \frac{3}{5} x$ . Ein tredel av elevane blir $\frac{1}{3} x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl} \frac{3}{5} x + \frac{1}{3} x + 12 & = & x \\ \overset{3}{15} \cdot \frac{3}{5} x + \overset{5}{15} \cdot \frac{1}{3} x + 15 \cdot 12 & = & 15 \cdot x \\ 9 x + 5 x + 180 & = & 15 x \\ 180 & = & 15 x - 14 x \\ 180 & = & x \end{array}$

Vi kan også løyse likninga med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga 3 femtedels x pluss ein tredjedels x pluss 12 er lik x. CAS-utklipp.

Det er 180 elevar ved skulen.

1.5.10

Per, Pål og Espen er til saman 66 år. Per er dobbelt så gammal som Espen, og Pål er 6 år eldre enn Espen.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle dei tre gutane er.

Vis fasit

Vi set Espen sin alder lik $x$ . Pål sin alder blir då $x + 6$ og Per sin alder blir $2 x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl} x + (x + 6) + 2 x & = & 66 \\ 4 x & = & 60 \\ x & = & 15 \end{array}$

Vi kan også løyse oppgåva med CAS i GeoGebra der vi både løyser likninga og reknar ut alderen til dei to andre.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss parentes x pluss 6 parentes slutt pluss 2 x er lik 66. CAS-utklipp.

Espen er 15 år, Pål er 21 år og Per er 30 år.

1.5.11

Ari, Anette og far er til saman 54 år. Anette er dobbelt så gammal som Ari og far er tre gonger så gammal som Anette.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle Ari, Anette og far er.

Vis fasit

La $x$ være alderen til Ari. Då er Anettes alder $2 x$ og far sin alder $6 x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl} x + 2 x + 6 x & = & 54 \\ 9 x & = & 54 \\ x & = & 6 \end{array}$

Vi kan også løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 2 x pluss 6 x er lik 54. CAS-utklipp.

Ari er 6 år, Anette 12 år og far 36 år.

1.5.12

Far er tre gonger så gammal som Per og bestefar er dobbelt så gammal som far. Til saman er dei 120 år.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle Per, far og bestefar er.

Vis fasit

La $x$ være alderen til Per. Då er far sin alder $3 x$ og bestefar sin alder $6 x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + 6 x & = & 120 \\ 10 x & = & 120 \\ x & = & 12 \end{array}$

Vi kan også løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 3 x pluss 6 x er lik 120. CAS-utklipp.

Per er 12 år, far er 36 år og bestefar er 72 år.

1.5.13

Mormor var 22 år da mor vart fødd. I dag er ho dobbelt så gammal som mor. Set opp ei likning og finn ut kor gamle mor og mormor er.

Vis fasit

La $x$ vere alderen til mor. Då er mormor sin alder $2 x$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl} x + 22 & = & 2 x \\ - x & = & - 22 \\ x & = & 22 \end{array}$

Vi kan også løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 22 er lik 2 x. CAS-utklipp.

Mor er 22 år og mormor 44 år. Det hadde vi kanskje ikkje trengt likning for å finne ut!

1.5.14

Far er tre ganger så gammal som Camilla. Far er seks år eldre enn onkel Kåre. Til saman er dei tre 92 år.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle Camilla, far og onkel Kåre er.

Vis fasit

La $x$ vere alderen til Camilla. Då er far sin alder $3 x$ og onkel Kåres $3 x - 6$ . Då kan vi setje opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl} x + 3 x + (3 x - 6) & = & 92 \\ 4 x + 3 x - 6 & = & 92 \\ 7 x & = & 92 + 6 \\ \frac{7 x}{7} & = & \frac{98}{7} \\ x & = & 14 \end{array}$

Vi kan også løyse oppgåva med CAS i GeoGebra.

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss 3 x pluss parentes 3 x minus 6 parentes slutt er lik 92. CAS-utklipp.

Camilla er 14 år, far er 42 år og onkel Kåre er 36 år.

1.5.15

Mor er 21 år eldre enn Maja. Bestefar er tre ganger så gammal som mor. Om to år er dei til sammen 100 år.

Set opp ei likning og finn ut kor gamle Maja, mor og bestefar er.

Vis fasit

La $x$ vere alderen til Maja. Då er mor sin alder $x + 21$ og bestefar sin alder $3 (x + 21)$ . I dag er dei til saman $100 år - 3 \cdot 2 år = 94 år$ . Då kan vi setja opp og løyse likninga

$\begin{array}{rcl} x + (x + 21) + 3 (x + 21) & = & 94 \\ x + x + 21 + 3 x + 63 & = & 94 \\ 5 x & = & 94 - 84 \\ \frac{5 x}{5} & = & \frac{10}{5} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løyst med CAS i GeoGebra kan det sjå slik ut:

Eksakt løysing med CAS av likninga x pluss parentes x pluss 21 parentes slutt pluss 3 multiplisert med parentes x pluss 21 parentes slutt er lik 94. CAS-utklipp.

Maja er 2 år, mor er 23 år og bestefar er 69 år.

1.5.16

Løys likningane

a) $x^{2} + 8 = 12$

b) $4 x^{2} + 6 = 70$

c) $- x^{2} + 2 = 2 x^{2} - 25$

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} x^{2} & = & 12 - 8 \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm \sqrt{4} \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} & = & 70 - 6 \\ 4 x^{2} & = & 64 \\ \frac{4 x^{2}}{4} & = & \frac{64}{4} \\ x^{2} & = & 16 \\ x & = & \pm \sqrt{16} \\ x & = & \pm 4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} - x^{2} + 2 & = & 2 x^{2} - 25 \\ 3 x^{2} & = & 27 \\ x^{2} & = & 9 \\ x & = & \pm 3 \end{array}$

CC BY-SASkrive av Stein Aanensen, Olav Kristensen og Bjarne Skurdal.

Sist fagleg oppdatert 04.08.2021

Likningar

1.5.1

1.5.2

1.5.3 Løys likningane.

1.5.4 Løys likningane

1.5.5 Løys likningane

1.5.6 Løys likningane

1.5.7

1.5.8

1.5.9

1.5.10

1.5.11

1.5.12

1.5.13

1.5.14

1.5.15

1.5.16

Reglar for bruk