Oppgåver og aktivitetar

Formelrekning

Oppgåvene kan løysast både med og utan hjelpemiddel, men vi tilrår å gjere begge delar.

1.5.20

Heimebanen til Liverpool FC heiter Anfield Stadium, eller berre Anfield. Banestorleiken er 100 meter x 69 meter.

a) Kva slags geometrisk figur er ein fotballbane? Skriv opp formelen vi bruker for å rekne ut arealet av ein slik figur.

Løysing

Ein fotballbane har form som eit rektangel. Formelen for arealet A kan skrivast som

$A = l \cdot b$

der $l$ står for lengda og $b$ står for breidda av fotballbanen.

b) Kor mange kvadratmeter er Anfield?

Løysing

Med dette meinest at vi skal rekne ut arealet av banen i kvadratmeter. Vi får

$100 m \cdot 69 m = 6 900 m^{2}$

Anfield Stadium er 6 900 m².

Old Trafford er heimebanen til Manchester United. Banestorleiken er 106 meter x 69 meter.

c) Kor mange kvadratmeter større er banen til Manchester United enn banen til Liverpool FC?

Løysing

Arealet av Old Trafford er: $106 m \cdot 69 m = 7 314 m^{2}$

$7 314 m^{2} - 6 900 m^{2} = 414 m^{2}$

Banen på Old Trafford er 414 m² større enn banen på Anfield.

Grunnflata til ein normalt stor einebustad er 100 m².

d) Kor mange einebustader av denne stoleiken er det plass til på kvart av stadiona?

Løysing

Talet på einebustader det er plass til på Anfield: $\frac{6 900}{100} = 69$

Talet på einebustader det er plass til på Old Trafford: $\frac{7 314}{100} \approx 73$

1.5.21

Ellen hadde på 2000-tallet eit såkalla kontantkort på mobilen. Det kosta 0,59 kr for ei tekstmelding. La A stå for talet på tekstmeldingar og $x$ for kor mye pengar det er på kontantkortet.

a) Finn ein formel for talet på meldingar ho kan sende for pengane som er på kortet.

Løysing

Vi får talet på meldingar ved å dele kor mykje pengar det er på kortet på prisen per tekstmelding. Dette gir

$A = \frac{x}{0, 59}$

b) Kor mange tekstmeldingar kan Ellen sende dersom ho har 150 kr igjen på kontantkortet?

Løysing

$A = \frac{150}{0, 59} \approx 254$

Ellen kan sende 254 tekstmeldingar for 150 kroner.

1.5.22 Løys utan hjelpemiddel

Gitt formelen $s = v \cdot t$ der $s$ står for strekning, $v$ for fart og $t$ for tid. Løys formelen med omsyn på

a) farten, $v$

Løysing

$\begin{array}{rcl} s & = & v \cdot t \\ v \cdot t & = & s \\ v & = & \frac{s}{t} \end{array}$

b) tida, $t$

Løysing

$\begin{array}{rcl} s & = & v \cdot t \\ v \cdot t & = & s \\ t & = & \frac{s}{v} \end{array}$

1.5.23 Løys utan hjelpemiddel

a) Arealet av ein sirkel er gitt ved formelen $A = π \cdot r^{2}$ .

Løys formelen med omsyn på $r$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} A & = & π \cdot r^{2} \\ π \cdot r^{2} & = & A \\ r^{2} & = & \frac{A}{π} \\ r & = & \sqrt{\frac{A}{π}} \end{array}$

b) Volumet av ein terning er gitt ved fomelen $V = s^{3}$ .

Løys formelen med omsyn på $s$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & s^{3} \\ s^{3} & = & V \\ \sqrt[3]{s^{3}} & = & \sqrt[3]{V} \\ s & = & \sqrt[3]{V} \\ s & = & V^{\frac{1}{3}} \end{array}$

c) Volumet av ein sylinder er gitt ved $V = π r^{2} h$ .

1) Løys formelen med omsyn på $h$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & π r^{2} h \\ π r^{2} h & = & V \\ h & = & \frac{V}{π r^{2}} \end{array}$

2) Løys formelen med omsyn på $r$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & π r^{2} h \\ π r^{2} h & = & V \\ r^{2} & = & \frac{V}{π h} \\ r & = & \sqrt{\frac{V}{π h}} \end{array}$

d) Volumet av ei kjegle er gitt ved $V = \frac{π r^{2} h}{3}$ .

1) Løys formelen med omsyn på $h$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{π r^{2} h}{3} \\ \frac{π r^{2} h}{3} & = & V \\ π r^{2} h & = & 3 V \\ h & = & \frac{3 V}{π r^{2}} \end{array}$

2) Løys formelen med omsyn på $r$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{π r^{2} h}{3} \\ \frac{π r^{2} h}{3} & = & V \\ π r^{2} h & = & 3 V \\ r^{2} & = & \frac{3 V}{π h} \\ r & = & \sqrt{\frac{3 V}{π h}} \end{array}$

e) Volumet av ei kule er gitt ved $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ .

Løys formelen med omsyn på $r$ .

Løysing

$\begin{array}{rcl} V & = & \frac{4 π r^{3}}{3} \\ \frac{4 π r^{3}}{3} & = & V \\ 4 π r^{3} & = & 3 V \\ r^{3} & = & \frac{3 V}{4 π} \\ r & = & \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}} \end{array}$

1.5.24 Løys utan hjelpemiddel

Frå fysikken har vi desse formlane.

Løys formlane med omsyn på $t$ .

a) $s = \frac{1}{2} a t^{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{1}{2} a t^{2} & = & s \\ a t^{2} & = & 2 s \\ t^{2} & = & \frac{2 s}{a} \\ t & = & \sqrt{\frac{2 s}{a}} \end{array}$

b) $v = v_{0} + a t$

Løysing

$\begin{array}{rcl} v_{0} + a t & = & v \\ a t & = & v - v_{0} \\ t & = & \frac{v - v_{0}}{a} \end{array}$

c) $s = \frac{(v_{0} + v) \cdot t}{2}$

Løysing

$\begin{array}{rcl} \frac{(v_{0} + v) \cdot t}{2} & = & s \\ (v_{0} + v) \cdot t & = & 2 s \\ t & = & \frac{2 s}{(v_{0} + v)} \end{array}$

1.5.25 Løys med hjelpemiddel

Samanhengen mellom fahrenheitgrader og celsiusgrader er gitt ved formelen

$F = \frac{9}{5} \cdot C + 32$

Her står $C$ for temperaturen målt i celsiusgrader og $F$ for temperaturen målt i fahrenheitgrader.

a) Gradestokken viser ein dag $0 ° C$ . Kor mange grader fahrenheit svarar dette til?

Løysing

Løysing med CAS i GeoGebra:

Her har vi først skrive inn formelen (funksjonen) for temperaturen i grader farhrenheit. Etterpå har vi bedt GeoGebra rekne ut formelen for $C = 0$ .

Oppgåva er også lett å rekne ut for hand.

$F = \frac{9}{5} \cdot C + 32 = \frac{9}{5} \cdot 0 + 32 = 32$

Ein temperatur på $0 ° C$ svarar til $32 ° F$ .

b) Løys formelen med omsyn på $C$ .

Løysing

Løysing med CAS:

c) Gradestokken viser $65 ° F$ . Kor mange grader celsius svarar dette til?

Løysing

Løysing med CAS:

Ein temperatur på $65 ° F$ svarar til ca $18, 3 ° C$ .

1.5.26 Løys med hjelpemiddel

Eit telefonabonnement kosta i 2008 49 kroner i fast månadspris og 0,85 kroner per minutt for samtaler. Eit anna abonnement kosta 99 kroner i fast månadspris og 0,59 kroner per minutt for samtaler.

Ved kor mange minutt ringjetid er dei to abonnementa likeverdige i pris?

Løysing

Vi set $x$ lik talet på minutt vi ringjer i ein månad og finn eit uttrykk for prisen for kvart av abonnementa. For kvart abonnement får vi minuttprisen multiplisert med talet på ringjeminutt pluss fastprisen. Det første abonnementet blir $0, 85 x + 49$ , det andre blir $0, 59 x + 99$ . Så set vi desse lik kvarandre.

Løysing med CAS:

CAS-løysing av likninga 0,85 x pluss 49 er lik 0,59 x pluss 99. Utklipp.

Ved ei ringjetid på 192 minutt er abonnementa likeverdige i pris.

1.5.27 Utfordring - utan hjelpemiddel

Vinkelsummen i ein trekant er $180 °$ , i ein firkant $360 °$ , og i ein femkant $540 °$ .

a) Lag ein formel som viser vinkelsummen $V$ i en mangekant med $n$ sider.

Løysing

Vinkelsummen $V$ i ein $n$ -kant kan skrivast som $V = (n - 2) \cdot 180 °$

I ein regulær mangekant er vinklane like store, til dømes er vinklane i ein regulær trekant $60 °$ , i ein regulær firkant $90 °$ og i ein regulær femkant $108 °$ .

b) Finn ein formel som viser vinkelen i ein regulær $n$ -kant.

Tips

Vinkelen $v$ i ein regulær $n$ -kant finn vi ved å ta vinkelsummen $V$ i ein $n$ -kant frå oppgåve a) og dele på talet på sider $n$ .

Løysing

Vinkelen $v$ i ein regulær $n$ -kant finn vi ved å ta vinkelsummen $V$ i ein $n$ -kant frå oppgåve a) og dele på talet på sider $n$ . Vi får

$v = \frac{V}{n} = \frac{(n - 2) \cdot 180 °}{n} = \frac{n \cdot 180 ° - 360 °}{n} = 180 ° - \frac{360 °}{n}$

CC BY-SASkrive av Stein Aanensen og Olav Kristensen.

Sist fagleg oppdatert 26.08.2021

Formelrekning

1.5.20

1.5.21

1.5.22 Løys utan hjelpemiddel

1.5.23 Løys utan hjelpemiddel

1.5.24 Løys utan hjelpemiddel

1.5.25 Løys med hjelpemiddel

1.5.26 Løys med hjelpemiddel

1.5.27 Utfordring - utan hjelpemiddel

Reglar for bruk