Fagartikkel

Bokstavrekning

Det er ofte lurt å rekne med bokstavar i staden for tal. Dette kallar vi algebra.

Bokstavar kan erstatte tal

Arealet av eit rektangel

Eit rektangel med påskrifta g på ei av dei vassrette sidene og påskrifta h på ei av dei loddrette sidene. Inni rektangelet står det A er lik g multiplisert med h. Illustrasjon. — Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Figuren viser eit rektangel med grunnlinje g og høgde h. Formelen for å rekne ut arealet av eit rektangel er

$A = g \cdot h$

Du må altså multiplisere (gonge) grunnlinja med høgda for å rekne ut arealet.

Døme

Vi skal rekne ut arealet til ein fotballbane der sidelengdene er 68 m og 105 m.

Ein fotballbane er rektangelforma. Vi lar den lengste sida vere grunnlinja og den kortaste sida vere høgda.

Fotballbane med tribunar. Foto. — Bilete: Vegard Grøtt / CC BY-NC-SA 4.0

Vi får at

$\begin{array}{rcl} A & = & g \cdot h \\ = & 105 m \cdot 68 m \\ = & 7 140 m^{2} \end{array}$

Bokstavane i formelen representerer tal, og ein formel er ei oppskrift for korleis vi skal rekne ut ein storleik ved å erstatte bokstavane med tal. Når vi kjenner grunnlinja og høgda, kan vi rekne ut storleiken arealet.

I mange tilfelle er det lurt å rekne med bokstavar i staden for tal. Dette kallar vi algebra.

Reknereglane vi bruker når vi reknar med bokstavar, er akkurat dei same som gjeld for rekning med tal. Dersom du lurer på om du har rekna rett, kan du erstatte bokstavane med tal og sjå om utrekninga gir same svar.

Bokstavar og programmering

Vi kan lage eit program som reknar ut arealet av rektangel for oss. Når vi programmerer, lar vi ofte bokstavar, eller variablar, representere tal vi skal rekne med. Til dømes kan vi i programmet lage ein variabel h, la han stå for høgda i eit rektangel og gi han verdien 68. I programmeringsspråket Python ville vi då ha skrive

h = 68

Så kan vi lage ein variabel "g" for grunnlinja i rektangelet og sette han til verdien 105 på tilsvarande måte. Til slutt kan vi be programmet rekne ut arealet ved å skrive

g·h

i programmet.

Dette kan du lese meir om på teorisida "Variabler, matematiske operatorer og kommandoen print()".

Rekning med bokstavar

Vi kan rekne med bokstavar utan å setje inn tal for dei, men vi må hugse at bokstavar står for tal. Det vil seie at vi må rekne med bokstavar som om dei var tal. Vi skal no sjå på nokre reglar som forenklar rekninga med bokstavar.

1. Vi sløyfar multiplikasjonsteiknet mellom eit tal og ein bokstav

Når vi skriv produktet mellom to tal, til dømes $2 \cdot 3$ , er multiplikasjonsteiknet viktig. Utan multiplikasjonsteikn ville det ha stått 23, som jo er noko ganske anna.

Når vi erstattar 3-talet med ein bokstav og får til dømes $2 \cdot a$ , er det derimot vanleg å sløyfe multiplikasjonsteiknet og berre skrive $2 a$ . Det vil seie at $2 a$ betyr $2 \cdot a$ .

2. Vi kan forenkle uttrykk ved å addere og subtrahere like ledd

Vi tek for oss dette reknestykket:

$2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = 8 + 12 = 20$

Sidan både 2 og 3 skal gongast med 4, kan vi like gjerne rekne slik:

$2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 = (2 + 3) \cdot 4 = 5 \cdot 4 = 20$

Dersom vi no erstattar talet 4 med bokstaven $a$ , får vi

$2 \cdot a + 3 \cdot a = 2 a + 3 a = (2 + 3) a = 5 a$

Dette betyr at vi kan forenkle uttrykk ved å addere (legge saman) og subtrahere (trekke frå) like ledd. Til dømes kan det følgande uttrykket forenklast slik:

$\begin{matrix} 2 a + 3 b - 2 x + 7 & + 5 x - 2 - 7 b + 2 a \\ = 4 a - 4 b + 3 x + 5 \end{matrix}$

3. Vi forkortar brøkar ved å dividere med same faktor i teljar og nemnar

Når vi skal forkorte brøkar, kan det vere lurt å faktorisere først. Til dømes kan vi faktorisere talet 6 til $2 \cdot 3$ . Tala 2 og 3 er då faktorar i talet 6.

Vi kan forenkle brøkar ved først å faktorisere og så dividere (dele) med dei same faktorane i teljaren og i nemnaren (vi "stryk" faktor mot faktor):

$\frac{420}{30} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 3 \cdot 5} = 14$

Dersom vi no erstattar talet 3 med bokstaven $a$ og talet 5 med bokstaven $b$ , får vi tilsvarande:

$\frac{28 a b}{2 a b} = \frac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot b \cdot 7}{2 \cdot a \cdot b} = 14$

4. Vi kan løyse opp (fjerne) parentesar

Vi tek for oss dette reknestykket med tal:

$2 + (3 + 6 - 2) - (4 + 3 - 2)$

Frå reglane om reknerekkefølge har vi at det som står inni parentesar, alltid skal reknast ut først. Vi får derfor at

$2 + (3 + 6 - 2) - (4 + 3 - 2) = 2 + 7 - 5 = 4$

Men følgande måte å rekne på gir det same resultatet:

$2 + (3 + 6 - 2) - (4 + 3 - 2) = 2 + 3 + 6 - 2 - 4 - 3 + 2 = 4$

Hugs at forteiknet til 3-talet og 4-talet inni parentesane eigentleg er "+" (pluss) sidan det ikkje står noko forteikn. Med forteikn blir reknestykket slik:

$2 + (+ 3 + 6 - 2) - (+ 4 + 3 - 2) = 2 + 3 + 6 - 2 - 4 - 3 + 2 = 4$

Det viser seg at denne måten å rekne på alltid blir riktig.

Ein parentes, inkludert rekneteiknet pluss framfor parentesen, kan fjernast ved at vi beheld alle ledda inni parentesen og oppfattar plussteikn og minusteikn som rekneteikn.

Ein parentes, inkludert rekneteiknet minus framfor parentesen, kan fjernast ved at vi skiftar teikna framfor alle ledda inni parentesen og oppfattar desse som rekneteikn.

Du kan lese om forskjellen på rekneteikn og forteikn på teorisida "Rekneartar og negative tal".

5. Vi kan multiplisere tal med parentesuttrykk

Vi tek for oss reknestykket $10 \cdot (3 + 2)$ .

Sidan det som står inni parentesen, skal reknast ut først, får vi at $10 \cdot (3 + 2) = 10 \cdot 5 = 50$ .

To like rektangel. Det første har grunnlinje lik 10 og høgde lik 5. Høgda er delt i 2 pluss 3 slik at rektangelet er delt i to delar med same grunnlinje 10 og ulike høgder 2 og 3. Det andre rektangelet har grunnlinje lik a og høgde lik c pluss d. Høgda er delt i to delar slik at begge delane har grunnlinje a, men ulike høgder c og d. Illustrasjon.

Vi kan tolke dette geometrisk som arealet av heile det store rektangelet til høgre med grunnlinje 10 og høgde 5.

Dette arealet kan vi òg sjå på som summen av areala til dei to små rektangla. Desse er $10 \cdot 3$ og $10 \cdot 2$ .

Det betyr at

$10 \cdot (3 + 2) = 10 \cdot 3 + 10 \cdot 2$

Vi erstattar tala i reknestykket ovanfor med bokstavar. Den same geometriske tolkinga på figuren til høgre som på figuren ovanfor gir at

$a \cdot (c + d) = a c + a d$

Generelt kan vi seie at når vi multipliserer eit tal med eit parentesuttrykk, må vi multiplisere talet med alle ledda inni parentesen.

$a \cdot (c + d) = a c + a d$

Døme

$\begin{array}{rcl} 3 x (2 x^{2} - 4 x + 2) \\ = & 3 x \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot 4 x + 3 x \cdot 2 \\ = & 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x \end{array}$

6. Vi kan multiplisere to parentesuttrykk med kvarandre

Eit rektangel med grunnlinje 10 og høgde 5 som er delt i fire mindre rektangel. Dette er gjort ved å dele grunnlinja i 6 pluss 4 og høgda i 3 pluss 2. Illustrasjon.

Vi tek for oss reknestykket

$(6 + 4) \cdot (3 + 2)$

Sidan det som står inni parentesen skal reknast ut først, får vi at

$(6 + 4) \cdot (3 + 2) = 10 \cdot 5 = 50$

Geometrisk kan vi tolke dette som arealet av heile det store rektangelet ovanfor med grunnlinje 10 og høgde 5.

Men vi ser geometrisk at vi kan sjå på dette arealet som summen av areala av fire mindre rektangel. Desse areala er høvesvis $6 \cdot 3, 6 \cdot 2, 4 \cdot 3 og 4 \cdot 2$ .

Det betyr at

Eit rektangel med grunnlinje a pluss b og høgde c pluss d som er delt i fire mindre rektangel. Dette er gjort ved å dele grunnlinja i a pluss b og høgda i c pluss d. Illustrasjon.

$\begin{array}{rcl} (6 + 4) \cdot (3 + 2) \\ = & 6 \cdot 3 + 6 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 \end{array}$

Vi erstattar tala i reknestykket ovanfor med bokstavar. Den same geometriske tolkinga på figuren til høgre som på figuren ovanfor gir at

$\begin{array}{rcl} (a + b) \cdot (c + d) \\ = & a c + a d + b c + b d \end{array}$

Generelt kan vi seie at når vi multipliserer to parentesuttrykk med kvarandre, må vi multiplisere kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd i den andre parentesen, slik:

$(a + b) \cdot (c + d) = a c + a d + b c + b d$

Døme

$\begin{array}{rcl} (2 x - 4) \cdot (3 x + 2) \\ = & 2 x \cdot 3 x + 2 x \cdot 2 - 4 \cdot 3 x - 4 \cdot 2 \\ = & 6 x^{2} + 4 x - 12 x - 8 \\ = & 6 x^{2} - 8 x - 8 \end{array}$

Video om grunnleggande bokstavrekning, del 1

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0

Video om grunnleggande bokstavrekning, del 2

Kjem