Likningar. Likningar løyst ved rekning
Kjenner du igjen denne typen oppgåver frå barneskulen?
Då du fann ut kva tal som skulle stå i den tomme ruta, løyste du eigentleg ei likning. Du fann ut kva som måtte stå der for at det skulle bli likt på begge sider av likskapsteiknet.
Kva er ei likning?
Ei likning består av eit likskapsteikn og eit uttrykk på kvar side av likskapsteiknet.
Ei likning inneheld vanlegvis ein ukjend storleik, ofte kalla .
Dei enklaste likningane er såkalla lineære likningar. I lineære likningar har vi aldri potensar av
Eit døme på ei lineær likning er
Å løyse ei likning går ut på å finne ut kva verdi
I den lineære likninga over kan vi sjå at om vi byter ut
Då står talet 5 på begge sider av likskapsteiknet.
I dei fleste likningar er det ikkje så lett å sjå noko som tal
Sjå til dømes på likninga
Vi baserer løysinga av slike likningar på det at vi kan "tukle" med likninga så lenge vi gjer det same på begge sider av likninga. Om vi til dømes legg til eller trekkjer frå det same talet på begge sider av likskapsteiknet, har uttrykka på kvar side framleis lik verdi.
Hugs at
Vi trekkjer frå talet 3 på begge sider av likskapsteiknet:
Likninga blir no
Vi trekkjer så frå talet
På høgresida er
Då har vi jo funne ut kva
Vi kan sjekke om løysinga er riktig. Då byter vi ut
Vi ser at når
Nokre gonger er vi ikkje så heldige å få løysinga så enkelt som ovanfor. Vi kan til dømes få
Dersom to uttrykk er like, må dei framleis vere like om vi deler begge på det same talet.
Vi deler på 3 på begge sider av likskapsteiknet:
3 delt på 3 er lik 1, og venstresida blir då lik 1
Vi har dermed funne løysinga.
Døme på enkel (lineær) likning
Vi tek med eit døme til.
Løysing | Forklaring |
---|---|
| |
Vi trekkjer frå | |
Vi trekkjer saman. | |
Vi dividerer med | |
Vi har funne løysinga. |
Døme på likning med brøk
Nokre likningar inneheld brøkar. Når vi løyser likningar med brøkar, baserer vi oss på at dersom to uttrykk er like, må dei framleis vere like om vi multipliserer (gongar) begge med det same talet.
Løysing | Forklaring |
---|---|
Den minste fellesnemnaren er 6. | |
Vi multipliserer kvart ledd med fellesnemnaren og forkortar. | |
Etter forkorting er alle brøkar borte. | |
Vi legg til | |
Vi har no alle ledda som inneheld | |
Vi trekkjer saman. | |
Vi dividerer med talet før | |
Vi har funne løysinga. |
Nokre likningar inneheld òg parentesuttrykk. Då startar vi med å gonge ut desse parentesuttrykka.
Døme 1 på likning med parentes
Døme 2 på likning med parentes
I CAS i GeoGebra kan vi løyse likningar ved først å skrive inn likninga slik som ho står og deretter bruke kommandoknappen
Døme
Løys likninga
Vi skriv inn likninga, trykkjer på knappen
Dersom vi ikkje ønskjer å ha svaret som ein brøk, kan vi no trykkje direkte på knappen
Legg merke til at når du trykkjer på knappen
I staden for å skrive inn likninga og bruke knappen
Løys(2x=2-x)
Prøv denne kommandoen!
Når vi skal løyse lineære likningar som dei på sida her, kan vi bruke den følgjande algoritmen:
- Dersom likninga inneheld parentesar, må vi først multiplisere (gonge) ut desse parentesane.
- Dersom likninga inneheld brøkar, må vi multiplisere med fellesnemnaren på begge sider av likskapsteiknet.
- Vi legg til eller trekkjer frå det same talet på begge sider av likskapsteiknet slik at vi får samla alle ledda som inneheld
på venstre side og alle ledda som berre består av tal på høgre side av likskapsteiknet.x - Vi trekkjer saman ledda.
- Til slutt dividerer vi med talet føre
på begge sider av likskapsteiknet.x
Vi må heilt til slutt ta med ein spesiell situasjon som kan hende. Det hender at den ukjende er "opphøgd i andre potens". I staden for
Når eit tal er "opphøgt i andre potens", betyr det berre at talet skal gongast med seg sjølv.
Når likninga inneheld
Døme
Det står no berre att å finne ut kva
Løysinga på likninga blir derfor at
Legg merke til at vi har to løysingar på likninga. Du er kanskje vand til å tenkje at løysinga på denne likninga er kvadratrota av 9. Det er viktig å hugse på at det berre er det positive talet som opphøgt i andre er lik 9 som vi kallar for kvadratrota til 9. Kvadratrota til 9 er lik 3, og vi skriv
Svaret på likninga over kan då skrivast
Prøv òg å løyse likninga med CAS i GeoGebra.