Hopp til innhald
Fagartikkel

Likningar. Likningar løyst ved rekning

Vi tek for oss likningar heilt frå byrjinga igjen.

Introduksjon

Kjenner du igjen denne typen oppgåver frå barneskulen?

Då du fann ut kva tal som skulle stå i den tomme ruta, løyste du eigentleg ei likning. Du fann ut kva som måtte stå der for at det skulle bli likt på begge sider av likskapsteiknet.

Kva er ei likning?

Ei likning består av eit likskapsteikn og eit uttrykk på kvar side av likskapsteiknet.

Ei likning inneheld vanlegvis ein ukjend storleik, ofte kalla x.

Dei enklaste likningane: lineære likningar

Dei enklaste likningane er såkalla lineære likningar. I lineære likningar har vi aldri potensar av x, som til dømes x2. Vi har heller ikkje x i nemnaren på ein brøk.

Eit døme på ei lineær likning er

2+x=5

Å løyse ei likning går ut på å finne ut kva verdi x må ha for at uttrykka på kvar side av likskapsteiknet skal vere like. Det er altså det same som du gjorde då du fann ut kva tal som skulle stå i den tomme ruta i oppgåvene ovanfor.

I den lineære likninga over kan vi sjå at om vi byter ut x med talet 3, blir uttrykka på kvar side av likskapsteiknet like.

2+x = 52+3=55=5

Då står talet 5 på begge sider av likskapsteiknet.

I dei fleste likningar er det ikkje så lett å sjå noko som tal x må vere.
Sjå til dømes på likninga

2x+3=x+7

Vi baserer løysinga av slike likningar på det at vi kan "tukle" med likninga så lenge vi gjer det same på begge sider av likninga. Om vi til dømes legg til eller trekkjer frå det same talet på begge sider av likskapsteiknet, har uttrykka på kvar side framleis lik verdi.
Hugs at x står for eit tal.

Vi trekkjer frå talet 3 på begge sider av likskapsteiknet:

2x+3-3=x+7-3

3-3  er lik null og kan fjernast frå venstresida.
7-3  på høgresida kan erstattast med talet 4.

Likninga blir no

2x=x+4

Vi trekkjer så frå talet x på begge sider av likskapsteiknet:

2x-x=x-x+4

På høgresida er  x-x  lik null og kan fjernast. På venstresida kan  2x-x  blir erstatta med x. Likninga blir no

x=4

Då har vi jo funne ut kva x må vere, og vi har løyst likninga.

Vi kan sjekke om løysinga er riktig. Då byter vi ut x med talet 4 i den opphavlege likninga:

2x+3 = x+72·4+3=4+711=11

Vi ser at når  x=4, er både venstresida og høgresida lik talet 11, altså like store. Løysinga er riktig.

Nokre gonger er vi ikkje så heldige å få løysinga så enkelt som ovanfor. Vi kan til dømes få

3x=12

Dersom to uttrykk er like, må dei framleis vere like om vi deler begge på det same talet.

Vi deler på 3 på begge sider av likskapsteiknet:

3x3=123

3 delt på 3 er lik 1, og venstresida blir då lik 1x, som er det same som x. 12 delt på 3 er lik 4, og likninga blir

x=4

Vi har dermed funne løysinga.

Døme på enkel (lineær) likning

Vi tek med eit døme til.

øineær likning

Løysing

Forklaring

2x-4=4x+8

2x-4-4x+4=4x+8-4x+4

Vi trekkjer frå 4x og legg til 4 på begge sider.

-2x=12

Vi trekkjer saman.

-2x-2=12-2

Vi dividerer med -2 på begge sider av likskapsteiknet og forkortar.

x=-6

Vi har funne løysinga.

Døme på likning med brøk

Nokre likningar inneheld brøkar. Når vi løyser likningar med brøkar, baserer vi oss på at dersom to uttrykk er like, må dei framleis vere like om vi multipliserer (gongar) begge med det same talet.

likning med brøk

Løysing

Forklaring

x3-4=-x2+16

Den minste fellesnemnaren er 6.

x·623-4·6=x·632+1·66

Vi multipliserer kvart ledd med fellesnemnaren og forkortar.

2x-24=-3x+1

Etter forkorting er alle brøkar borte.

2x-24+3x+24=-3x+1+3x+24

Vi legg til 3x og 24 på begge sider av likskapsteiknet.

2x+3x=1+24

Vi har no alle ledda som inneheld x på den same sida.

5x=25

Vi trekkjer saman.

5x5=255

Vi dividerer med talet før x.

x=5

Vi har funne løysinga.

Nokre likningar inneheld òg parentesuttrykk. Då startar vi med å gonge ut desse parentesuttrykka.

Døme 1 på likning med parentes

2x+4 = 6  2x+8=6      2x=6-8      2x=-2     2x2=-22        x=-1

Døme 2 på likning med parentes

22x-1 = -3x-4    4x-2=-3x+12   4x+3x=12+2         7x=14          x=2

Løysingar med CAS

I CAS i GeoGebra kan vi løyse likningar ved først å skrive inn likninga slik som ho står og deretter bruke kommandoknappen x  = , som gir eksakt løysing. Då vil det i CAS-feltet stå "Løys:" ved løysinga.

Døme

Løys likninga  2x=2-x  med CAS.

Vi skriv inn likninga, trykkjer på knappen x  = og får løysinga  x=23.

Dersom vi ikkje ønskjer å ha svaret som ein brøk, kan vi no trykkje direkte på knappen       utan å skrive inn litt meir. Då vil GeoGebra gjere om svaret på linja over (linje 1) til eit desimaltal, det vil seie ei tilnærma løysing, dersom vi til dømes ikkje vil ha svaret som ein brøk.

Legg merke til at når du trykkjer på knappen      , set GeoGebra inn symbolet "$1", som er symbolet for "svaret i linje nummer 1". Det er fordi når det ikkje står noko på linja frå før, går GeoGebra automatisk ut ifrå at du meiner svaret i linja over.

I staden for å skrive inn likninga og bruke knappen x  = når du skal løyse ei likning med CAS, kan du bruke kommandoen "Løys()" og skrive likninga inn mellom parentesane slik som nedanfor.

Løys(2x=2-x)

Prøv denne kommandoen!

Framgangsmåten for å løyse ei lineær likning

Når vi skal løyse lineære likningar som dei på sida her, kan vi bruke den følgjande algoritmen:

  1. Dersom likninga inneheld parentesar, må vi først multiplisere (gonge) ut desse parentesane.
  2. Dersom likninga inneheld brøkar, må vi multiplisere med fellesnemnaren på begge sider av likskapsteiknet.
  3. Vi legg til eller trekkjer frå det same talet på begge sider av likskapsteiknet slik at vi får samla alle ledda som inneheld x på venstre side og alle ledda som berre består av tal på høgre side av likskapsteiknet.
  4. Vi trekkjer saman ledda.
  5. Til slutt dividerer vi med talet føre x på begge sider av likskapsteiknet.

Potenslikningar

Vi må heilt til slutt ta med ein spesiell situasjon som kan hende. Det hender at den ukjende er "opphøgd i andre potens". I staden for x står det x2, "x i andre potens" eller berre "x i andre".

Når eit tal er "opphøgt i andre potens", betyr det berre at talet skal gongast med seg sjølv.

22=2·2=432=3·3=9 42=4·4=1652=5·5=2562=6·6=36osb.

Når likninga inneheld x2 i staden for x, er ikkje likninga lineær lenger. Då løyser vi likninga som vist ovanfor, men no med x2 som den ukjende. Vi finn då kva x2 er lik.

Døme

     4x2-11 = 254x2-11+11=25+11          4x2=36         4x24=364            x2=9

Det står no berre att å finne ut kva x er lik. Hugs då at x2 betyr  x·x. Talet x er derfor det talet som gonga med seg sjølv er lik 9. Då kan x vere lik talet 3 fordi, som vi ser ovanfor, så er 32=3·3=9. Legg i tillegg merke til at talet 3 gonga med seg sjølv òg er lik 9. Vi har at  (3)·(3)=9.

Løysinga på likninga blir derfor at

x=3 eller x=-3

Legg merke til at vi har to løysingar på likninga. Du er kanskje vand til å tenkje at løysinga på denne likninga er kvadratrota av 9. Det er viktig å hugse på at det berre er det positive talet som opphøgt i andre er lik 9 som vi kallar for kvadratrota til 9. Kvadratrota til 9 er lik 3, og vi skriv

9=3

Svaret på likninga over kan då skrivast

x=±9=±3

Prøv òg å løyse likninga med CAS i GeoGebra.

Film med gjennomgang av løysing av nokre likningar

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0
CC BY-SA 4.0Skrive av Stein Aanensen og Olav Kristensen.
Sist fagleg oppdatert 08.07.2022