Hopp til innhald
Fagartikkel

Ulikskapar med logaritmeuttrykk

Vi startar med å studere ei logaritmelikning før vi går laus på logaritmeulikskapane.

Innleiing

Når vi løyser likningar med logaritmar, utnyttar vi at to tiarpotensar med like eksponentar er like.

Eksempel

  lgx = 210lg x=102  To tiarpotensar med like eksponentar er like.     x=100

Vi veit at funksjonen f gitt ved  fx=10x  veks i heile definisjonsområdet. Det vil seie at dersom  a>b, så er  10a>10b, og tilsvarande dersom  a<b, så er  10a<10b. Dette får vi bruk for når vi skal løyse ulikskapar med logaritmeuttrykk.

Eksempel 1

Så prøver vi oss på ein tilsvarande ulikskap.

lgx<2x  vere større enn 0.10lgx<102a<b10a<10bx<100Vi bruker definisjonen  logaritme og forenklar venstre side.

Løysinga blir

x0, 100

Eksempel 2

lgx2+2lgx-2>0x  vere større enn 0.2lgx+2lgx>2Vi bruker tredje logaritmesetning.4lgx>2lgx>1210lgx>1012a>b10a>10bx>10Vi bruker definisjonen  logaritme ogforenklar  venstre side

Løysinga blir

x10, 

Eksempel 3

lg(x+2)-lg(2)<2x  vere større enn -2.lg(x+22)<2Vi bruker andre logaritmesetning baklengs.10lg(x+22)<102a<b10a<10bx+22<100Vi bruker definisjonen  logaritme og forenklar venstre side.x+2<200x<198

Løysinga blir

x-2, 198

Eksempel 4

lgx+lg5-x  lg 6x  vere større enn 0 og mindre enn 5.  lgx·5-xlg6Vi bruker første logaritmesetning baklengs. 10 lgx·5-x10lg6ab10a10b      x·5-x6Vi bruker definisjonen  logaritme og forenklar venstre side.  -x2+5x-60

Set

-x2+5x-6=0 x=-5±25-24-2 x1=2 ,  x2=3

Ulikskapen blir då slik:

-x-2x-30

Eit forteiknsskjema gir oversikta. Legg merke til at vi berre lagar forteiknskjema frå 0 til 5.

Løysinga blir

x2, 3

Ulikskapar kan også løysast grafisk

I koordinatsystemet nedanfor har vi teikna grafen av funksjonen f gitt ved  fx=lgx+lg5-x (utrykket på venstre side i ulikskapen ovanfor). I tillegg har vi teikna den vassrette linja  y=lg6 (høgre side i ulikskapen).

Vi ser også grafisk at  lgx+lg5-xlg6  for  x2, 3.

Med CAS i GeoGebra får vi same svar.

Eksempel 5

Vi ønskjer å løyse andregradsulikskapen lgx2+2 lgx-3<0 ,    x>0.

Først løyser vi likninga lgx2+2 lgx-3=0. Vi bruker igjen metoden med variabelskifte ved å setje  u=lgx.

u = -2±22-4·1·-32·1u=-2±42          Sidan u=lgx:lgx=1           lgx=-3   x=101         x=10-3   x=10           x=0,001

Grafen av funksjonen f gitt ved  fx=lg x2+2lg x-3  er samanhengande, derfor er det berre i nullpunkta at uttrykket lg x2+2lg x-3  kan skifte forteikn.

Vi tar «stikkprøver» i intervalla 0, 0.001, 0.001, 10 og 10, , og lager forteiknsskjema.

For  x=0,0001  får vi

lg0,00012+2 lg0,0001-3=-42+2·-4-3=16-8-3=5 

Uttrykket er positivt.

For  x=1  får vi

lg12+2 lg1-3=02+2·0-3=-3

Uttrykket er negativt.

For  x=100  får vi

lg1002+2 lg100-3=32+2·2-3=5

Uttrykket er positivt.

Nedanfor har vi illustrert dette i eit forteiknsskjema.

Løysing:  (lgx)2+2lgx-3<0  når  x0.001, 10

Nedanfor har vi teikna grafen av uttrykket  lgx2+2 lgx-3. Det er vanskeleg å finne begge nullpunkta i same bildet. Vi har derfor først teikna grafen og funne det eine nullpunktet 10, 0, så har vi teikna eit forstørra bilde av grafen i eit lite område for å finne det andre nullpunktet 0.001, 0.

Vi ser av grafene at løysinga stemmer.

I CAS i GeoGebra får vi same løysing.