Vi startar med å studere ei logaritmelikning før vi går laus på logaritmeulikskapane.
Innleiing
Når vi løyser likningar med logaritmar, utnyttar vi at to tiarpotensar med like eksponentar er like.
Eksempel
Vi veit at funksjonen gitt ved veks i heile definisjonsområdet. Det vil seie at dersom a>b, så er 10a>10b, og tilsvarande dersom a<b, så er 10a<10b. Dette får vi bruk for når vi skal løyse ulikskapar med logaritmeuttrykk.
Eit forteiknsskjema gir oversikta. Legg merke til at vi berre lagar forteiknskjema frå 0 til 5.
Løysinga blir
x∈2,3
Ulikskapar kan også løysast grafisk
I koordinatsystemet nedanfor har vi teikna grafen av funksjonen f gitt ved fx=lgx+lg5-x (utrykket på venstre side i ulikskapen ovanfor). I tillegg har vi teikna den vassrette linja y=lg6 (høgre side i ulikskapen).
Vi ser også grafisk at lgx+lg5-x⩾lg6 for x∈2,3.
Med CAS i GeoGebra får vi same svar.
Eksempel 5
Vi ønskjer å løyse andregradsulikskapen lgx2+2lgx-3<0,x>0.
Først løyser vi likninga lgx2+2lgx-3=0. Vi bruker igjen metoden med variabelskifte ved å setje u=lgx.
Grafen av funksjonen f gitt ved fx=lgx2+2lgx-3 er samanhengande, derfor er det berre i nullpunkta at uttrykket lgx2+2lgx-3 kan skifte forteikn.
Vi tar «stikkprøver» i intervalla ⟨0,0.001⟩, ⟨0.001,10⟩ og ⟨10,→⟩, og lager forteiknsskjema.
For x=0,0001 får vi
lg0,00012+2lg0,0001-3=-42+2·-4-3=16-8-3=5
Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi
lg12+2lg1-3=02+2·0-3=-3
Uttrykket er negativt.
For x=100 får vi
lg1002+2lg100-3=32+2·2-3=5
Uttrykket er positivt.
Nedanfor har vi illustrert dette i eit forteiknsskjema.
Løysing: (lgx)2+2lgx-3<0 når x∈⟨0.001,10⟩
Nedanfor har vi teikna grafen av uttrykket lgx2+2lgx-3. Det er vanskeleg å finne begge nullpunkta i same bildet. Vi har derfor først teikna grafen og funne det eine nullpunktet 10,0, så har vi teikna eit forstørra bilde av grafen i eit lite område for å finne det andre nullpunktet 0.001,0.