Eksponentiallikningar

$$ \begin{array}{rcl}{4}^x & =& 16\\ \lg 4^x & =& \lg 16\\ x\lg 4 & =& \lg 16\\ x & =& \frac{\lg 16}{\lg 4}\\ x & =& \frac{\lg 4^2}{\lg 4}\\ x & =& \frac{2\cancel{\lg 4}}{\cancel{\lg 4}}\\ x & =& 2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{4}^x & =& 16\\ 4^x & =& 4^2\\ x & =& 2\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{3}^{3x} & =& 9\\ \ln 3^{3x} & =& \ln 9\\ 3x\ln 3 & =& \ln 3^2\\ 3x & =& \frac{\ln 3^2}{\ln 3}\\ 3x & =& \frac{2\cancel{\ln 3}}{\cancel{\ln 3}}\\ 3x & =& 2\\ x & =& \frac{2}{3}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{3}^{3x} & =& 9\\ 3^{3x} & =& 3^2\\ 3x & =& 2\\ x & =& \frac{2}{3}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{10}^x & =& 55\\ \lg {10}^x & =& \lg 55\\ x·\lg 10 & =& \lg 55\\ x & =& \lg 55\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{10}^{-2x}& =& 100\\ \lg {10}^{-2x}& = & \lg 100\\ -2x\lg 10& =& \lg 100\\ -2x\lg 10& =& \lg {10}^2\\ -2x\lg 10& =& 2·\lg 10\\ -2x& =& 2\\ x& =& -1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{10}^{-2x} & =& 100\\ {10}^{-2x} & =& {10}^2\\ -2x & =& 2\\ x & =& -1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{4}^x & =& 32\\ \ln 4^x & =& \ln 32\\ x\ln 4 & =& \ln 32\\ x & =& \frac{\ln 32}{\ln 4}\\ x & =& \frac{\ln 2^5}{\ln 2^2}\\ x & =& \frac{5\cancel{\ln 2}}{2\cancel{\ln 2}}\\ x & =& \frac{5}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{4}^x & =& 32\\ 4^x & =& 4·4·2\\ {\left(2^2\right)}^x & =& 2·2·2·2·2\\ 2^{2x} & =& 2^5\\ 2x & =& 5\\ x & =& \frac{5}{2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}2,0·0,5^x & =& 13\\ 0,5^x & =& 6,5\\ \lg 0,5^x & =& \lg 6,5\\ x\lg 0,5 & =& \lg 6,5\\ x & =& \frac{\lg 6,5}{\lg 0,5}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{5}^{2x} & =& 25\\ \ln \left(5^{2x}\right) & =& \ln 25\\ 2x\ln 5 & =& \ln 5^2\\ 2x\ln 5 & =& 2\ln 5\\ \frac{2x\ln 5}{\ln 5} & =& \frac{2\ln 5}{\ln 5}\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{5}^{2x} & =& 25\\ 5^{2x} & =& 5^2\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{2}^{x+1} & =& 4\\ \ln 2^{x+1} & =& \ln 2^2\\ (x+1)·\ln 2 & =& 2\ln 2\\ x+1 & =& \frac{2\cancel{\ln 2}}{\cancel{\ln 2}}\\ x & =& 2-1\\ x & =& 1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{2}^{x+1} & =& 4\\ 2^{x+1} & =& 2^2\\ x+1 & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}{3}^{x+1}-11 & =& 70\\ 3^{x+1} & =& 81 81=3^4\\ 3^{x+1} & =& 3^4\\ x+1 & =& 4\\ x & =& 3\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}\frac{2^{2x}}{2^{x-1}} & =& 32\\ 2^{2x-(x-1) }& =& 2^5\\ 2^{x+1} & =& 2^5\\ x+1 & =& 5\\ x & =& 4\end{array}$$

Første feil:

$$ $ $ $ \begin{array}{rcl}{4}^{2x} & =& {16}^{2x-6} 16=4^2\\ 4^{2x} & =& (4^2{)}^{2x-6}\\ 4^{2x} & =& 4^{2+2x-6} \\ 2x & =& -4+2x\\ 2x+2x & =& -4\\ 4x & =& -4\\ x & =& -1\end{array}$$$$$

$$ 2$$ må multipliserast med resten av eksponenten slik at $$ 2·\left(2x-6\right)=4x-12$$.

Andre feil:

$$ $ \begin{array}{rcl}2x & = & -4+2x \mathrm{Vi} \mathrm{får} 2x-2x \mathrm{på} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\\ 2x-2x & = & 4\end{array}$$$

Nytt løysingsforslag:

$$ $ \begin{array}{rcl}{4}^{2x} & =& {16}^{2x-6 } 16=4^2\\ 4^{2x }& =& (4^2{)}^{2x-6}\\ 4^{2x} & =& 4^{2·(2x-6)}\\ 4^{2x} & =& 4^{4x-12}\\ 2x & =& 4x-12\\ 2x-4x & =& -12\\ \frac{-2x}{-2} & =& \frac{-12}{-2}\\ x & =& 6\end{array}$$$

Feil:

$$ \ln e^{2x-3} = 9$$   må bruke ln på begge sider av likninga.

Nytt løysingsforslag:

$$ $ $ \begin{array}{rcl}2e^{2x-3} & =& 18\\ e^{2x-3 }& =& 9 \\ \ln e^{2x-3} & =& \ln 9 \ln e = 1\\ 2x-3 & =& \ln 9\\ 2x & =& \ln 3^2+3\\ \frac{2x}{2} & =& \frac{2\ln 3+3}{2}\\ x & =& \frac{2\ln 3+3}{2} \vee x=\ln 3+\frac{3}{2}\\ & & \end{array}$$$$

Feil:

$$ \begin{array}{rcl}{5}^2·5^{4n}& =& 5^{10}\\ 2·4n& =& 10 \mathrm{Eksponentane} \mathrm{skal} \mathrm{adderast}, \\ & & \mathrm{ikkje} \mathrm{multipliserast}.\end{array}$$

Nytt løysingsforslag:

$$\begin{gathered} $ \begin{array}{rcl}{5}^2·5^{4n} & =& 5^{10}\\ 5^{2+4n} & =& 5^{10}\\ 2+4n & =& 10\\ 4n & =& 8\\ n & =& \frac{8}{4}\\ n & =& 2\end{array} \\ $ \end{gathered}$$

Feil:

$$ \begin{array}{rcl}2x & =& \lg 70\\ x & =& \lg \left(\frac{70}{2}\right) \mathrm{Det} \mathrm{er} \mathrm{logaritmen} \mathrm{til} 70 \mathrm{som} \mathrm{skal} \\ & & \mathrm{delast} \mathrm{på} 2, \mathrm{ikkje} 70.\end{array}$$

Nytt løysingsforslag:

$$ $ \begin{array}{rcl}-2·{10}^{2x} & =& -140\\ \frac{-2·{10}^{2x}}{-2} & =& \frac{-140}{-2}\\ {10}^{2x} & =& 70\\ \lg {10}^{2x} & =& \lg 70\\ 2x & =& \lg 70\\ x & =& \frac{\lg 70}{2}\\ & & \end{array}$$$

Feil:

$$ $ \begin{array}{rcl}98 & =& {10}^{2x}-2\\ \lg 98 & =& \lg {10}^{2x}-\lg 2 \mathrm{Vi} \mathrm{reknar} 98+2.\end{array}$$$

Nytt løysingsforslag:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{980}{{10}^{2x}-2} & =& 10\\ 980 & =& 10({10}^{2x}-2)\\ 98 & =& {10}^{2x}-2\\ 100 & =& {10}^{2x}\\ {10}^2 & =& {10}^{2x}\\ 2 & =& 2x\\ x & =& 1\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}{x}^2-2x & =& 8\\ x(x-2) & =& 8\\ x = 8 & \vee & x-2 = 8 \mathrm{blir} \mathrm{feil} \\ & & \\ \mathrm{Sett} \mathrm{uttrykket} \mathrm{lik} 0:& & \\ x^2-2x-8 & =& 0\end{array}$$$

Nytt løysingsforslag:

$$ $ \begin{array}{rcl}{2}^{x^2-2x} & =& 4^4 4=2^2\\ 2^{x^2-2x} & =& (2^2{)}^4 \\ x^2-2x & =& 8\\ x^2-2x-8 & =& 0\\ (x+2)(x-4) & =& 0\\ x & =& -2\vee x = 4 \\ & & \end{array}$$$

$$ 10000·0,{85}^x=5000$$

$$ \begin{array}{rcl}0,{85}^x & =& \frac{5000}{10000}\\ \lg 0,{85}^x & =& \lg 0,5\\ x\lg 0,85 & =& \lg 0,5\\ x & =& \frac{\lg 0,5}{\lg 0,85}\\ x & \approx & 4,27\end{array}$$

Når straumbrotet skjer, er $$ x=0$$. Vi set inn i 0 uttrykket og får $T\left(0\right)=3+1.{15}^0=3+1=4$.

Temperaturen i kjøleskapet ved straumbrotet var $$ 4°\mathrm{C}$$.

$$ \begin{array}{rcl}3+1,{15}^x & =& 10\\ 1,{15}^x & =& 7\\ \lg 1,{15}^x & =& \lg 7\\ x\lg 1,15 & =& \lg 7\\ x & =& \frac{\lg 7}{\lg 1,15}\\ x & \approx & 13,92\end{array}$$

Vi teiknar linja $$ \mathrm{y=10}$$.

Vi finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til $T$ med kommandoen "Skjering mellom to objekt". Sjå punkt $A$ på grafen.

Det tek cirka 13,92 timar før det er 10 grader i kjøleskapet.

$$ \begin{array}{rcl}3+1,{15}^x& =& 16\\ 1,{15}^x& =& 13\\ x\lg 1,15& =& \lg 13\\ x& =& \frac{\lg 13}{\lg 1,15}\\ x& \approx & 18,35\end{array}$$

Det vil ta noko over 17 timar før temperaturen i kjøleskapet er 16 grader.

Vi kan setje $x$ lik til dømes 24 og 30 timar, og vi finn temperaturen i kjøleskapet:

$T\left(24\right)=31,63$

$T\left(30\right)=69,21$

Ut frå denne modellen vil temperaturen stige kraftig etter eitt døgn, noko som er lite sannsynleg. Vi går ut frå at temperaturen i eit kjøleskap utan straum vil nærme seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk å bruke dersom straumbrotet varer over ein lengre periode.

Vi bruker bokstaven H som teikn for hummarbestanden. Vi bruker $$ 2·H$$ for å vise at hummarbestanden er dobla.

Kva er vekstfaktoren for noko som aukar med 2,5 prosent?

$$ 1+\frac{1,5}{100}=1,025$$

Vi får formelen:

$$ \begin{array}{rcl}\mathrm{H}·1,{025}^x & =& 2H\\ 1,{025}^x & =& 2\\ \lg 1,{025}^x & =& \lg 2\\ x·\lg 1,025 & =& \lg 2\\ x & =& \frac{\lg 2}{\lg 1,025}\\ x & \approx & 28,07\end{array}$$

Det tek litt over 28 år før hummarbestanden er dobla.

$$ \begin{array}{rcl}x·454000 & =& 322000\\ x & =& \frac{322000}{454000}\\ x & =& 0,71\end{array}$$

Hummarfangsten minka med 29 prosent frå 2017 til 2018.

Vi kan starte i 2018 med 322 000 humrar:

$$ \begin{array}{rcl}322000·0,{71}^x& = & 5000\\ 0,{71}^x& =& \frac{5000}{322000}\\ 0,{71}^x& =& 0,016\\ \lg 0,{71}^x& =& \lg 0,016\\ \frac{x·\lg 0,71}{\lg 0,71}& =& \frac{\lg 0,016}{\lg 0,71}\\ x& =& 12,07\end{array}$$

Hummarfangsten vil vere nede i 5 000 humrar i 2030 viss han minkar med 29 prosent kvart år.