Ulikskapar med eksponentialuttrykk

Vi ønskjer å løyse eksponentialulikskapen

$2·3^x>3·4^x$

For å finne ut litt om korleis vi skal gå fram, løyser vi først den tilsvarande eksponentiallikninga.

$$ 2·3^x=3·4^x$$

Sidan logaritmen til like tal er like, tek vi logaritmen på begge sider.

$$ \begin{array}{rcl} \lg \left(2·3^x\right) & =& \lg \left(3·4^x\right)\\ & & \\ \lg 2+\lg 3^x & =& \lg 3+\lg 4^x\\ & & \\ \lg 2+x·\lg 3 & =& \lg 3+x·\lg 4\\ & & \\ x·\lg 3-x·\lg 4 & =& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x\left(\lg 3-\mathrm{lg4}\right) & =& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x & =& \frac{\lg 3-\lg 2}{\lg 3-\lg 4}\end{array}$$

Korleis er det så med logaritmane til to tal som er ulike?

For å svare på det, må vi sjå på funksjonen g gitt ved

$g\left(x\right)=\lg x$

Grafen til $g$ veks for aukande verdiar av $x$ i heile definisjonsområdet.

Det betyr at dersom$$ a>b$$, så er$$ \lg a>\lg b$$.

På grafen ser du at sidan 10 er større enn 2, så er logaritmen til 10 større enn logaritmen til 2.

Motsett må det då òg gjelde at dersom$$ a<b$$, så er$$ \lg a<\lg b$$.

Dersom $\lg a<\lg b$, har vi òg

$$ \begin{array}{rcl} \lg a& < & \lg b\\ & & \\ \lg a-\lg b& <& 0\\ & & \\ \lg \frac{a}{b}& <& 0\end{array}$$

I den siste overgangen har vi brukt den andre logaritmesetninga baklengs.

Dette er viktig å vite når vi skal avgjere om vi må snu ulikskapsteiknet eller ikkje dersom vi multipliserer eller dividerer med same tal på begge sider i ein ulikskap.

$$ 2·3^x>3·4^x$$

Vi bruker at$$ a>b\Rightarrow \lg a>\lg b$$, og tek logaritmen på begge sider.

$$ \begin{array}{rcl} \lg \left(2·3^x\right)& > & \lg \left(3·4^x\right)\\ & & \\ \lg 2+\lg 3^x& >& \lg 3+\lg 4^x\\ & & \\ \lg 2+x·\lg 3& >& \lg 3+x·\lg 4\\ & & \\ x·\lg 3-x·\lg 4& >& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x\left(\lg 3-\lg 4\right)& >& \lg 3-\lg 2\\ & & \\ x& <& \frac{\lg 3-\mathrm{lg2}}{\mathrm{lg3}-\lg 4}\end{array}$$

Oppgåve

Kvifor snudde vi ulikskapsteiknet i den siste overgangen?

Nedanfor kan du sjå ein video som tek for seg løysinga.

I døme 2 på sida Eksponentiallikningar fann vi ut kor lenge eit beløp på 1 000 kroner måtte stå i banken for å bli dobla når renta var 6 prosent per år. Dersom vi alternativt spør kor lang tid det tek før beløpet overstig 2 000 kroner, har vi ein ulikskap:

$$ \begin{array}{rcl}1000·1,{06}^x& > & 2·1000\\ & & \\ 1,{06}^x& >& 2\\ & & \\ \lg 10,6^x& >& \lg 2\\ & & \\ x·\lg 1,06& >& \lg 2\\ & & \\ x& >& \frac{\lg 2}{\lg 1,06}\approx 12\end{array}$$

Oppgåve

Kvifor snudde vi ikkje ulikskapsteiknet i den siste overgangen?

Ved CAS i GeoGebra løyser vi først ulikskapen eksakt for deretter å finne tilnærma verdiar for løysinga. Det gjer vi ved å trykkje direkte på knappen for tilnærma utrekning utan å skrive inn noko i linje 2.

I døme 3 i avsnittet om eksponentiallikningar fann vi kor mange år det ville ta før verdien av Kari sin bil hadde sokke til 100 000 kroner. Kari kjøpte bilen for 200 000 kroner. Verdien av bilen søkk med 10 prosent kvart år.

Dersom vi alternativt spør kor lang tid det tek før verdien av bilen har vorte mindre enn 100 000 kroner, så har vi ein ulikskap.

$$ \begin{array}{rcl}200 000·0,{90}^x& < & 100 000\\ & & \\ 0,{90}^x& <& 0,5\\ & & \\ x·\lg 0,90& <& \lg 0,5\\ & & \\ x& \boxed{\stackrel{ }{ }}& \frac{\lg 0,5}{\lg 0,90}\approx 6,6\end{array}$$

Oppgåve

Kva veg skal ulikskapsteiknet stå på den siste linja i løysinga over?

Ved CAS i GeoGebra løyser vi først ulikskapen eksakt og finn deretter tilnærma løysing, som vi gjorde i det førre dømet.

Vi vil løyse ulikskapen

$\frac{2^{2x}-3·2^x}{x-3}⩾\frac{4}{x-3} x\ne 3$

Vi kan ikkje multiplisere $$ x -3$$ med nemnaren på begge sider av ulikskapsteiknet fordi uttrykket kan vere positivt eller negativt alt etter kva verdi $x$ har.

Vi må trekkje saman, faktorisere og bruke forteiknsskjema.

$$ \begin{array}{rcl} \frac{2^{2x}-3·2^x}{x-3}& ⩾ & \frac{4}{x-3}\\ & & \\ \frac{2^{2x}-3·2^x}{x-3}-\frac{4}{x-3}& ⩾& 0\\ & & \\ \frac{{\left(2^x\right)}^2-3·2^x-4}{x-3}& ⩾& 0\end{array}$$

Vi set $$ u=2^x $$ og faktoriserer teljaren.

$$ \begin{array}{rcl} u^2-3·u-4 & =& 0\\ & & \\ u & =& \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)}}{2·1}\\ & & \\ u & =& \frac{3\pm \sqrt{25}}{2}\\ & & \\ u_1 & =& -1 u_2=4\\ & & \\ \frac{\left(2^x+1\right)\left(2^x-4\right)}{x-3} & ⩾& 0\end{array}$$

Nemnaren blir 0 for $$ x=3$$. I teljaren kan faktoren $$ 2^x+1 $$ ikkje bli 0 eller negativ sidan $2^x$ alltid er positiv. Teljaren kan derfor berre skifte forteikn når

$\begin{array}{rcl} 2^x-4& = & 0\\ & & \\ 2^x& =& 4\\ & & \\ x·\lg 2& =& \lg 2^2\\ & & \\ x& =& \frac{2\cancel{\lg 2}}{\cancel{\lg 2}}=2\end{array}$

Vi tek "stikkprøver" i intervalla $\langle \leftarrow , 2\rangle , ⟨2, 3⟩ \mathrm{og} ⟨3, \to ⟩$.

For $$ x=0 $$ får vi

$\frac{\left(2^0-4\right)·\left(2^0+1\right)}{0-3}=\frac{\left(1-4\right)·\left(1+1\right)}{-3}=\frac{\left(-3\right)·\left(+2\right)}{-3}$

Uttrykket er positivt.

For $$ x=2,5 $$ får vi

$\frac{\left(2^{2,5}-4\right)·\left(2^{2,5}+1\right)}{2,5-3}=\frac{\left(2^{2,5}-3\right)·\left(2^{2,5}+1\right)}{-0,5}$

Uttrykket er negativt sidan $$ 2^{2,5}>2^2=4 \mathrm{sidan} 2^x $$ alltid veks.

For $$ x=4 $$ får vi

$\frac{\left(2^4-4\right)·\left(2^4+1\right)}{4-3}=\frac{\left(+12\right)·\left(+17\right)}{+1}$

Uttrykket er positivt.

No kan vi teikne forteiknsskjema.

Løysinga på oppgåva blir at $$ x$$ må vere mindre enn eller lik 2 eller større enn 3. Løysinga blir

$$ $ x\in ⟨\leftarrow , 2]\cup ⟨3, \to ⟩$$$

Ved CAS i GeoGebra får vi den same løysinga. Legg merke til at GeoGebra her ikkje forenklar brøken i svaret til 2 når vi prøver å løyse ulikskapen eksakt, sjå linje 1. Dette blir kanskje løyst i ein seinare versjon av programmet.