Hopp til innhald
Fagartikkel

Sentralmål

Sentralmål er ulike verdiar som kan fortelje oss noko om kvar midtpunktet i eit talmateriale er.

Døme på sentralmål

I klassen til Mary Ann fekk elevane desse karakterane på ein matematikkprøve:

4 2 5 3 3 2 5 4 1 3 2 2 5 3 1 4 2 5 3 2 4 3 6 2 5 3 2 5 5 4

Vi ønskjer å vurdere korleis resultatet til klassen var. Var resultatet dårleg eller bra? Vi kan bruke eit sentralmål til å seie noko om dette.

Eit sentralmål seier noko om kvar hovudtyngda av observasjonane, altså karakterane på prøven, ligg. Vanlege sentralmål er typetal, gjennomsnitt og median.

Typetal

Typetalet er den verdien i eit talmateriale som er "mest typisk", det vil seie at det er den verdien som finst flest gonger. Nedanfor har vi samla dataa i ein frekvenstabell, som tel opp kor mange førekomstar det var av dei ulike karakterane. På matematikkprøven var det heile åtte elevar som fekk karakteren 2. Karakteren 2 fanst oftast. Typetalet for dette datamaterialet er derfor 2.

Karakter

Frekvens

1

2

2

8

3

7

4

5

5

7

6

1

Vurder om du synest at karakteren 2 er eit bra sentralmål på resultatet til klassen på prøven.

Kommentarar

Sjølv om flest elevar fekk karakteren 2, har dei fleste elevane fått betre karakter enn 2. Det er berre 2 elevar som har fått dårlegare karakter enn 2. Her vil ikkje typetalet vere eigna til å seie noko om resultatet i klassen.

Som i dømet over er det ikkje alltid slik at typetalet gir eit riktig inntrykk av gruppa samla sett. Gjennomsnittet gir ofte betre informasjon.

Gjennomsnitt

Vi finn gjennomsnittskarakteren ved å summere verdiane av alle karakterane og så dividere med talet på karakterar. Sidan karakteren 2 fanst åtte gonger, kan vi multiplisere to med åtte for å finne summen av karakterverdiane til dei elevane som fekk karakteren 2. Det betyr at vi multipliserer karakterverdien med frekvensen av karakterverdien. Derfor er det lurt å lage ein frekvenstabell med ein ekstra kolonne der vi multipliserer desse tala. Det har vi gjort nedanfor i den tredje kolonnen med nemninga  x·f, og vi har òg summert kolonnane.

Karakter

Frekvens

x

f

x·ƒ

1

2

2

2

8

16

3

7

21

4

5

20

5

7

35

6

1

6

Sum

30

100

Kva betyr summen i kolonnen for frekvensane?

Løysing

Summen i kolonnen for frekvensane blir talet på karakterar.

Kva betyr summen i kolonnen for produktet av karakterar og frekvensar?

Løysing

Summen i kolonnen for produktet av karakterar og frekvensar blir summen av alle karakterane.

Gjennomsnittskarakteren blir då

x¯ = 2·1+8·2+7·3+5·4+7·5+1·630  =100303,3



Legg merke til at vi bruker x¯ som symbol for gjennomsnitt.

Dersom vi først har talet på karakterar og summen av alle karakterane, finn vi gjennomsnittet ved å dele desse tala på kvarandre som vist over. Her kan vi ha fordel av å gjere desse utrekningane i eit rekneark der vi skriv inn kolonnane for karakterar og frekvens. Så lagar vi ein ny kolonne der kvar celle inneheld summen av karakterverdiane til kvar karakter, x·f, slik som i tabellen over.

Vurder om gjennomsnittskarakteren er betre å bruke som sentralmål enn typetalet.

Kommentarar

Her kan det sjå ut som at gjennomsnittet (3,3) er eit betre sentralmål på korleis klassen har gjort det på prøven, enn typetalet (2).

Merk at det ikkje alltid er slik at gjennomsnittet gir det beste sentralmålet på eit talmateriale.

Median

Vi kan bruke den midtarste verdien i eit som sentralmål. Denne verdien (eller observasjonen) kallar vi medianen i datamaterialet. Med den midtarste verdien meiner vi den verdien som står midt i rekkja av verdiar når dei er sorterte i stigande rekkjefølgje.

Vi ser på resultata frå matematikkprøven i klassen til Mary Ann. Datamaterialet er altså alle prøvekarakterane dei 30 elevane fekk:

4 2 5 3 3 2 5 4 1 3 2 2 5 3 1 4 2 5 3 2 4 3 6 2 5 3 2 5 5 4

Vi sorterer karakterane i stigande rekkjefølgje:

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6

Kva verdi står i midten i denne talrekkja?

Løysing

Problemet her er at det er ingen av verdiane som står i midten. Midten er midt imellom karakter nummer 15 og karakter nummer 16. Vi kan eventuelt seie at det er disse to verdiane (to tretal) som står i midten.

Definisjon av medianen i eit datamateriale

For eit utval av verdiar der talet på verdiane er eit oddetal, blir medianen definert som den midtarste verdien når alle verdiane er sorterte i stigande rekkjefølgje.

Når talet på verdiar er eit partal, er medianen gjennomsnittet av dei to midtarste verdiane.

Ein annan måte å definere medianen på er at det er den verdien som er slik at omtrent 50 prosent av observasjonane er mindre enn eller lik denne verdien.

Bruk definisjonen over og bestem medianen til karakterane.

Løysingsforslag

I datamaterialet vårt med 30 karakterar er medianen lik gjennomsnittet av karakter nummer 15(302=15) og karakter nummer 16 (302+1=16) når karakterane er sorterte i stigande rekkjefølgje.

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6

Dei to midtarste karakterane er dei to trearane som er utheva i rekkja ovanfor. Medianen blir då

3+32=62=3

Vi kan telje opp og sjå at dei to trearane verkeleg blir dei to midtarste karakterane. Vi får 14 karakterar til venstre og 14 til høgre, sjå figuren nedanfor.

Dersom talet på karakterar hadde vore eit oddetal, til dømes 29, finn vi den midtarste karakteren som karakter nummer

29+12=302=15

Då vil det vere 14 karakterar til venstre, 14 til høgre og 1 i midten, til saman 29 karakterar. I figuren nedanfor har vi teke bort ein av toarane frå det opphavlege prøveresultatet.

Median ved hjelp av kumulativ frekvens

Vi kan bruke ei oversikt over dei kumulative frekvensane til eit talmateriale for finne medianen.

Kva blir den kumulative frekvensen for karakteren 3 i dømet?

Løysing

Den kumulative frekvensen for karakteren 3 er alle karakterane som er mindre enn eller lik 3, altså alle einarar, toarar og trearar. Den kumulative frekvensen for karakteren 3 blir

2+8+7=17

Nedanfor har vi utvida frekvenstabellen med ein kolonne for kumulativ frekvens for dømet med karakterar.

Karakter

Frekvens

Kumulativ frekvens

1

2

2

2

8

10

3

7

17

4

5

22

5

7

29

6

1

30

Korleis kan du bruke dei kumulative frekvensane til å finne medianen?

Forklaring

Vi har frå tabellen at 17 elevar fekk karakteren 3 eller lågare, mens 10 elevar fekk karakteren 2 eller lågare. Det må bety at medianen, som er karakter nummer 15 og karakter nummer 16 når karakterane er sorterte stigande, begge må vere trearar. Altså er medianen 3, som vi visste frå før.

Vi kan òg finne medianen ved å bruke kommandoen "Median" i eit rekneark eller i GeoGebra.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0
CC BY-SA 4.0Skrive av Stein Aanensen, Olav Kristensen og Bjarne Skurdal.
Sist fagleg oppdatert 28.02.2022