Formlikskap

Studer dei russiske dokkene på biletet under. Med nokre få variasjonar ser vi at dokkene er heilt like i form, men dei har ulik storleik.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Per Mækitalo

Studer så figurane A, B og C. Beskriv skilnader og likskapar mellom figurane til ein medelev.

Som du kanskje har sett, er det ein likskap mellom figur B og figur C. Desse figurane har same form. Skilnaden er at figur C er ei forstørra utgåve av figur B. Figur A har ei anna form. Dette ser vi tydeleg dersom vi ser på vinkelen mellom dei vassrette linjestykka og dei skrå.

Figuren nedanfor viser to formlike trekantar. Den store trekanten er eit forstørra bilete av den vesle trekanten, og den vesle trekanten er eit forminska bilete av den store trekanten. Som du ser, er to og to vinklar like store. Dersom vi veit at alle vinkelpara i ein trekant er like store, veit vi òg at trekantane er formlike. (Legg merke til at dette berre gjeld trekantar, i andre figurar kan det hende vi treng fleire opplysningar.)

Vi skal òg sjå at det er ein samanheng mellom lengda på sidene i dei to trekantane.

Dei to sidene som ligg overfor (det vil seie på motsett side av) to vinklar som er like store, ligg på same stad i dei to trekantane, og vi kallar dei for samsvarande sider.

På figuren over er dermed dei blå sidene med lengde 4 og 12 samsvarande fordi dei ligg overfor dei blå vinklane, som er 104°. På same måte er dei raude sidene samsvarande og dei grøne sidene samsvarande.

Vi reknar ut forholdet mellom lengdene av samsvarande sider:

$$ \frac{12}{4}=3 \frac{9}{3}=3 \frac{6}{2}=3$$

Vi seier at forholdet mellom sidene i den store trekanten og den vesle trekanten er konstant lik $3$. Vi kallar dette talet for forholdstalet. Legg merke til at forholdstalet alltid berre er er tal, det har inga nemning.

Kva blir forholdstalet mellom den vesle trekanten og den store trekanten?

1. Dersom to par av vinklar er like, er trekantane formlike.

Dersom vi kan vise at vinklane i to trekantar er parvis like store, har vi vist at trekantane er formlike. Det er nok å vite at to par av vinklar i to trekantar er like store. På grunn av setninga om at summen av vinklane i ein trekant alltid er lik 180 grader, må nemleg òg det tredje paret av vinklar vere like store.

Vi skal sjå på biletet av to trekantar som begge har ein stump vinkel på 180 grader. Vi ser at eitt par av vinklar er like. Vi reknar ut $$ \alpha $$ i den vesle trekanten:

$$ \alpha =180°-108°-31°=41°$$

Vi har no at to par av vinklar er like store, altså er dei to trekantane formlike. Vi treng ikkje å rekne ut den siste vinkelen for å vite dette.

2. Dersom forholdet mellom alle dei samsvarande sidene er likt, er trekantane formlike.

Dette viste vi i dømet over, der vi rekna ut forholdstalet mellom alle sidene i trekantane.

3. Dersom eitt par av vinklar er like og forholdet mellom sidene som utgjer vinkelbeina, er det same, er dei to trekantane formlike.

Vi skal vise at trekant $$ ABC$$ og trekant $$ DEF$$ på biletet er formlike. Vi ser at dei to trekantane har eitt par av like store vinklar. Vi sjekkar om forholdet mellom dei samsvarande vinkelbeina er likt:

$$ \begin{array}{l}\frac{DE}{AB}=\frac{8}{4}=2\\ \frac{DF}{AB}=\frac{12}{6}=2\end{array}$$

Sidan vi no har eitt par av like vinklar og forholdet mellom dei to sidene er likt, veit vi at dei to trekantane er formlike.

4. Dersom forholdet mellom to par av samsvarande sider er det same, og dei motståande vinklane til dei lengste av desse sidene er like store, er trekantane formlike.

Vi skal igjen vise at to trekantar er formlike, sjå biletet. Vi observerer at vinklane som står mot den lengste av sidene i dei to trekantane, er like stor. Vi reknar ut forholdet mellom dei to sidene:

$$ $ \begin{array}{l}\frac{DE}{AB}=\frac{8}{4}=2\\ \frac{DF}{AB}=\frac{14.4}{7,2}=2\end{array}$$$

Igjen kan vi konkludere med at trekantane er formlike.

På oppgåvesida om formlikskap (sjå under relatert innhald) skal du undersøkje andre figurar enn trekantar òg. Før du kjem så langt: Tenk gjennom om to firkantar med fire par av like store vinklar er formlike. Kva kan du seie om sirklar og formlikskap?