Formlikskap

Trekantane har parvis like store vinklar og er dermed formlike.

Den siste vinkelen er  $$ 180°-45°-71,57°=63,43°$$.

Vi reknar først ut forholdstalet når vi går frå $∆DEF$ til $∆ABC$.

$\frac{AB}{DE}=\frac{6,0}{8,0}=0,75$

Så kan vi finne lengda av $AC$.

$$ AC=10,0 \mathrm{cm}· 0,75=7,5 \mathrm{cm}$$

$$ EF=\frac{BC}{0,75}=\frac{6,3 \mathrm{cm}}{0,75}=\frac{6,3 \mathrm{cm}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}=\frac{\stackrel{2,1}{\cancel{6,3 }}\mathrm{cm}· 4}{\cancel{3}}=8,4 \mathrm{cm}$$

Trekantane $DEF$ og $GHF$ har felles vinkel $F$. Dei parallelle linjene $DE$ og $GH$ blir skorne av linjene gjennom $DF$ og $EF$. Når to parallelle linjer blir skorne av ei tredje linje, er dei samsvarande vinklane like store, det vil seie at vinkel $DEF$ = vinkel $GHF$ og så vidare. Trekantane har dermed parvis like store vinklar og er då formlike.

Toppvinklane $ASB$ og $$ CSD$$ er like store. Dei parallelle linjene gjennom $$ A$$ og $$ B$$ og gjennom $$ C$$ og $$ D$$ blir skorne av linjene gjennom $$ A$$ og $$ D$$ og gjennom $$ B$$ og $$ C$$. Når to parallelle linjer blir skorne av ei tredje linje, er dei samsvarande vinklane like store. Trekantane har dermed parvis like store vinklar og er då formlike.

$\begin{array}{rcl}\angle ACB& = & \angle DFE\\ & & \\ \angle ACB& =& 71,6°\\ & & \\ \angle CBA& =& \angle FEB=180°-45°-71,6°=63,4°\end{array}$

Trekanten danna av bakken, staven og siktelinja er formlik med trekanten som blir danna av bakken, treet og siktelinja. Trekantane har felles vinkel der siktelinja treffer bakken, og både staven og treet dannar $90°$ med bakken.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{Målestokk}& = & \frac{10,5}{0,5}=21\\ & & \\ 2,0 \mathrm{m}·21& =& 42 \mathrm{m}\end{array}$

Treet er 42 meter høgt.

Trekantane $BST$ og $B´ST´$ har felles vinkel $S$. Begge trekantane er rettvinkla. Trekantane har då parvis like store vinklar og er formlike.

$\angle PSQ=\angle RST$ fordi dei er toppvinklar.

Linjene $PT$ og $RQ$ skjer dei parallelle linjene $PQ$ og $RT$, og vi har då at dei samsvarande vinklane er like. Til dømes er $\angle SQP=\angle SRT$.

Trekantane har då parvis like store vinklar og er formlike. Då $\angle SQP=\angle SRT$, er sidene $PS$ og $ST$ tilsvarande sider fordi dei er motståande sider til like store vinklar.

Forholdet mellom tilsvarande sider er konstant.

$\frac{PS}{ST}=\frac{PQ}{RT}\Rightarrow \frac{PS}{5 \mathrm{m}}=\frac{4 \mathrm{m}}{6 \mathrm{m}}\Rightarrow PS=5 \mathrm{m}·\frac{4}{6}=\frac{20 \mathrm{m}}{6}=3,3 \mathrm{m}$

$∆DCE$ og $∆BCA$ er formlike fordi vinkel $C$ er lik i dei to trekantane (toppvinklar), og begge trekantane er rettvinkla. Forholdet mellom dei tilsvarande sidene $CD$ og $BC$ blir

$$ \frac{200}{2,5}=80$$

$$ DE=AB·25=80·25=2 000$$

Avstanden $DE$ ut til Hatholmen er $$ 2 000$$ meter.

Sjå oppgåve 2.2.6 for eit hint om korleis du kan gjere det.

Vi har her to figurar som er sette saman av eit kvadrat og ein halvsirkel. Alle kvadrat er formlike med kvarandre, og det same gjeld sirklar.

Vi observerer først at alle vinklane i dei fem firkantane er rette. Det vil seie at vi må sjå på forholda mellom sidekantane.

Vi sjekkar forholda mellom sidekantane. Her er det viktig å vere nøye på å alltid ha den lengste og den kortaste sida på den same staden i brøken:

$$ \begin{array}{ccc}A:& \frac{3}{2}& \\ B:& \frac{6}{4}& =\frac{3}{2}\\ C:& \frac{7}{4}& \\ D:& \frac{4}{2}& =2\\ E:& \frac{8}{4}& =2\end{array}$$

Vi kan sjå at figur A og B er formlike, og det same gjeld figur D og E.

For at to firkantar skal vere formlike, må både alle par av samsvarande vinklar vere like store og forholdet mellom alle sidene vere like.

Vi ser på firkanten til høgre. Vi har at grunnlinja og topplinja er like lange, og at eit par av motståande vinklar er like store. Då har vi å gjere med eit parallellogram, og vi kan finne dei to andre vinklane:

$$ 180°-71,6°=108,4°$$

Tilsvarande kan vi sjå på firkanten til høgre at den òg er eit parallellogram, sidan eit par av motståande sider er like lange, og eit par av motståande vinklar er like store. Dermed har vi at vinklane i firkanten er like store.

Vi ser no på forholdet mellom dei motståande sidene:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{6}{3} & =& 2\\ \frac{3,2}{1,6} & =& 2\end{array}$$

Vi har altså to formlike firkantar.