Proporsjonalt eller omvendt proporsjonalt?

Vi veit at 22 masker i breidda er 10 cm. Då kan vi finne talet på masker på éin cm ved å dele 22 på 10.

$$ \frac{22 \mathrm{masker}}{10 \mathrm{cm}}=2,2 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}$$

På same måte reknar vi ut talet på masker per cm i høgda.

$$ \frac{25 \mathrm{masker}}{10 \mathrm{cm}}=2,5 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}$$

Talet på masker i breidda blir

$$ 2,2 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}·15 \mathrm{cm}=33 \mathrm{masker}$$

Talet på masker i høgda blir tilsvarande

$$ 2,5 \frac{\mathrm{masker}}{\mathrm{cm}}·15 \mathrm{cm}=37,5 \mathrm{masker}\approx 38 \mathrm{masker}$$

Talet på masker til saman blir

$$ 33·38=1 254$$

Alternativ 1

Vi kan ta utgangspunkt i tala frå kluten eller i opplysningane om strikkefastleik for å lage modellen. Her bruker vi opplysningane om strikkefastleik.

Areal: $$ 10 \mathrm{cm}·10 \mathrm{cm}=100 {\mathrm{cm}}^2$$

Masker: $$ 22·25=550$$

Talet på masker per cm² får vi ved å dele det totale masketalet på 100:

$$ \frac{550 \mathrm{masker}}{100 {\mathrm{cm}}^2}=5,5 \frac{\mathrm{masker}}{{\mathrm{cm}}^2}$$

Formelen for arealet $$ y$$ blir

$$ y=5,5x$$

Alternativ 2

Vi bruker tala på masker per cm i breidda (2,2) og i høgda (2,5) og multipliserer dei.

$$ y=2,2·2,5x=5,5x$$

Arealet $$ y$$ av kluten målt i cm² og talet på masker $$ x$$ er proporsjonale storleikar. Eitt av krava til proporsjonalitet er at forholdet mellom storleikane er konstant. Forholdet mellom $$ y$$ og $$ x$$ er

$$ \frac{y}{x}=\frac{5,5x}{x}=5,5$$

Vi har altså konstant forhold lik 5,5 mellom dei to storleikane, som dermed er proporsjonale.

Vi må fordele dei 20 000 kronene på talet på korpsmusikantar. Dersom vi kallar prisen per musikant $$ p\left(x\right)$$* der $$ x$$ er talet på musikantar, får vi at

$$ p\left(x\right)=\frac{20 000}{x}$$

Her mistenker vi at storleikane er omvendt proporsjonale, sidan den eine storleiken er i nemnaren på ein brøk. Dei to storleikane $$ p\left(x\right)$$ og $$ x$$ er omvendt proporsjonale dersom produktet av dei er konstant for alle verdiar av $$ x$$. Produktet er

$$ p\left(x\right)·x=\frac{20 000}{x}·x=20 000$$

Produktet er konstant, altså er storleikane omvendt proporsjonale.

* Merk at her har vi brukt skrivemåten "$$ p\left(x\right)$$", som vi les "p av x", og som er vanleg for funksjonar. Vi kunne òg ha skrive berre "$$ p$$".

Vi kallar den totale matkostnaden for $$ K\left(x\right)$$. Eit uttrykk for denne kostnaden vil vere prisen per musikant multiplisert med talet på musikantar. Dette gir

$$ K\left(x\right)=200·x=200x$$

Her mistenker vi at storleikane er proporsjonale sidan det ikkje er nokon brøk i formelen. Vi sjekkar forholdet mellom $$ K\left(x\right)$$ og $$ x$$.

$$ \frac{K\left(x\right)}{x}=\frac{200x}{x}=200$$

Forholdet er konstant, og derfor er den totale matkostnaden proporsjonal med talet på musikantar.

Vi må setje saman uttrykket av dei faste utgiftene og dei utgiftene som varierer med talet på musikantar. Dei totale kostnadene er summen av den totale matkostnaden og prisen for leige av leirstaden.

$$ T\left(x\right)=20 000+K\left(x\right)=20 000+200x$$

Her er det naturleg å undersøke om storleikane er proporsjonale sidan det ikkje er nokon brøk i formelen. Men totalkostnaden er ikkje proporsjonal med talet på musikantar sidan vi har eitt ledd som er konstant og eitt ledd som varierer med $$ x$$:

$$ \begin{array}{rcl}\frac{T\left(x\right)}{x} & =& \frac{20 000+200x}{x}=\frac{20 000}{x}+\frac{200x}{x}\\ & =& \frac{20 000}{x}+200\end{array}$$

Vi får at forholdet varierer med $$ x$$. Derfor er ikkje dei totale utgiftene og talet på musikantar proporsjonale storleikar.

Dette kan vi takle på to måtar.

Alternativ 1

Vi kan velje å sjå på kvar musikant for seg. Kvar enkelt betaler 200 kroner i matutgifter og sin del av dei 20 000 kronene.

Då får vi$$ M\left(x\right)=200+\frac{20 000}{x}$$.

Alternativ 2

Vi kan bruke uttrykket vi hadde for dei totale kostnadene $$ T\left(x\right)$$ og dele på talet på musikantar. Dette forholdet rekna vi ut i den førre oppgåva, og vi får

$$ M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}=\frac{20 000}{x}+200$$

Her kan vi slå fast med éin gong at storleikane verken er proporsjonale eller omvende proporsjonale sidan formelen består av eitt ledd som varierer med $$ x$$ og eitt ledd som ikkje gjer det. Då vil verken produktet av storleikane eller forholdet mellom dei kunne bli ein konstant.