Proporsjonalitet

Først reknar vi ut kva prisen blir for dei ulike mengdene smågodt. For til dømes 2 hg smågodt betaler vi

$$ 2 \mathrm{hg}·9,90 \mathrm{kr}/\mathrm{hg}=19,80 \mathrm{kr}$$

Vi reknar ut forholdet mellom prisen på smågodtet og mengda ved å dividere (dele). Når mengda smågodt er 2 hg, får vi

$$ \frac{19,80 \mathrm{kr}}{2 \mathrm{hg}}=9,90 \mathrm{kr}/\mathrm{hg}$$

Nedanfor er tabellen ferdig utfylt.

Mengda smågodt og prisen er proporsjonale storleikar fordi forholdet mellom storleikane alltid er det same.

$$ \frac{\mathrm{pris}}{\mathrm{mengde} \mathrm{smågodt}}=9,90$$

Vi ser også av tabellen i løysinga i a) at dersom vi doblar mengda smågodt, blir prisen dobla.

Proporsjonalitetskonstanten er 9,90 kr/hg, prisen per hektogram smågodt.

Omkrinsen og diameteren er proporsjonale storleikar fordi forholdet mellom omkrinsen og diameteren i ein sirkel er konstant.

Forholdstalet mellom omkrinsen og diameteren i ein sirkel er pi $\left(\pi \approx 3,14\right)$. Dette blir også proporsjonalitetskonstanten.

Talet på SMS-ar og prisen er proporsjonale storleikar fordi forholdet mellom pris per SMS og talet på SMS-ar er konstant. Sjå tabellen i a).

Vi må multiplisere (gonge) talet på SMS-ar $$ x$$ med prisen per SMS, 0,49:

$P=0,49·x$

Proporsjonalitetskonstanten er 0,49 kroner per SMS.

Vi startar på $$ y$$-aksen der verdien er 750 kroner, går til høgre til vi treffer på linja, og går loddrett ned til vi treffer $$ x$$-aksen. Sjå pilene på figuren nedanfor.

Siri har jobba i cirka 5 timar når ho har tent 750 kroner.

Ved å gjere som i oppgåve a) får vi at Siri har jobba i cirka 10 timar når ho har tent 1 500 kroner.

Her gjer vi det motsette av kva vi har gjort i dei to førre oppgåvene. Vi startar i 20 på $$ x$$-aksen, går loddrett oppover til vi treffer linja, og går deretter vassrett til venstre til vi treffer $$ y$$-aksen. Sjå figuren nedanfor.

Vi får at Siri har tent 3 000 kroner når ho har arbeidd 20 timar.

Vi set opp ein tabell på tilsvarande måte som i dei førre oppgåvene og reknar ut forholdet mellom lønna og talet på timar. Til dømes blir forholdet mellom lønna og talet på timar når ho jobbar 5 timar

$$ \frac{750 \mathrm{kr}}{5 \mathrm{timar}}=150 \mathrm{kr}/\mathrm{time}$$

Timelønna til Siri er fast og lik 150 kroner per time.

Forholdet mellom lønna og talet på timar er konstant. Då er storleikane lønn og talet på timar proporsjonale storleikar. Vi kan òg sjå det av grafen i oppgåva sidan grafen er ei rett linje gjennom origo.

Proporsjonalitetskonstanten er 150 kr/time, altså prisen per arbeidstime eller timelønna.

Du kan gå fram på tre måtar:

1. Du kan lage ein tabell med nokre samhøyrande verdiar for talet på leigeminutt og prisen for leiga. Lag ein tredje kolonne og rekn ut forholdet mellom leigepris og talet på leigeminutt.

2. Du kan lage ein formel for leigeprisen $$ y$$ når du leiger sykkelen i $$ x$$ minutt. Teikn grafen til denne formelen (funksjonen) i GeoGebra, og studer forma på grafen.

3. Du kan bruke formelen direkte til å sjekke om forholdet mellom leigepris og talet på leigeminutt er konstant.

Metode 1

Vi reknar ut prisen ved å multiplisere talet på minutt leigetid med prisen per minutt og legg til oppstartsprisen. Dersom vi til dømes leiger sykkelen i 5 minutt, blir prisen

$$ 5 \min ·3 \mathrm{kr}/\min +10 \mathrm{kr}=25 \mathrm{kr}$$

Vi ser at forholdet ikkje er konstant. Då er ikkje leigetida og leigeprisen proporsjonale storleikar.

Metode 2

Dersom vi leiger sykkelen i $$ x$$ minutt, blir formelen for leigeprisen $$ y$$

$$ y=x·3+10$$

etter utrekninga i metode 1. Vi skriv dette uttrykket rett inn i algebrafeltet i GeoGebra. Resultatet blir som på figuren nedanfor.

Vi får ei rett linje som ikkje går gjennom origo. Då er ikkje leigetida og leigeprisen proporsjonale storleikar.

Metode 3

I metode 1 rekna vi ut forholdet mellom samhøyrande verdiar for leigeprisen $$ y$$ og leigetida $$ x$$. Vi kan gjere dette direkte med formelen.

$$ \frac{y}{x}=\frac{3x+10}{x}=\frac{3x}{x}+\frac{10}{x}=3+\frac{10}{x}$$

I den første overgangen har vi erstatta $$ y$$ med $$ 3x+10$$. Resultatet av utrekninga er eit uttrykk der $$ x$$ inngår. Forholdet er dermed ikkje konstant, og storleikane leigetid og leigepris er ikkje proporsjonale storleikar.

Nei. Vi kan mellom anna sjå at kvadratmetertalet ikkje aukar til det dobbelte når talet på korsongarar doblar seg frå 14 til 28.

Svaret over er nok. Alternativt kan vi utvide tabellen i løysinga i a) med ei ny rad og rekne ut forholdet mellom talet på kvadratmeter og talet på personar tilsvarande det som er gjort i oppgåvene over, og vi vil få ulike svar.

Forholdet er ikkje konstant, og talet på personar og talet på kvadratmeter er ikkje proporsjonale storleikar.

Vi kan gjere som i den førre oppgåva og vise at talet på kvadratmeter ikkje doblar seg når talet på songarar doblar seg. Vi får direkte frå tabellen at når talet på korsongarar blir dobla frå 15 til 30, blir talet på kvadratmeter litt mindre enn dobla.

Det er kravet om buffer som gjer at storleikane ikkje er proporsjonale. Bufferen er eit tillegg som sjølv om det varierer litt, er fast for fleire ulike tal på kormedlemmer. Til dømes er det det same både for 10 og 15 kormedlemmer. Dersom kravet om buffer blir teke bort, vil storleikane vere proporsjonale fordi det vil vere eit fast tal kvadratmeter per korutøvar.