Fagartikkel

Proporsjonalitet og koordinatsystemet

Utforsk omgrepet proporsjonalitet og få samtidig litt repetisjon om koordinatsystemet.

Proporsjonalitet handlar om storleikar som heng saman på ein spesiell måte. Vi skal studere dette gjennom døme der du skal svare på spørsmål og finne ut mest mogleg på eiga hand. Ikkje sjå på løysingane før du har prøvd sjølv.

Døme: kilopris på eple

Raude eple. Foto. — Bilete: Hallgeir Vågenes / CC BY-NC-SA 4.0

Epla på biletet kostar 30 kroner per kg. Vi skriv gjerne at kiloprisen er 30 kr/kg.

Kor mykje må du betale for 2 kg eple?

Pris for 2 kg eple

For 2 kg eple må du betale 2 gonger så mykje som for 1 kg. Vi må derfor multiplisere kiloprisen med det talet på kg eple vi skal ha for å finne ut kor mykje vi skal betale.

$2 kg \cdot 30 kr / kg = 60 kr$

Legg òg merke til at når vi multipliserer einingane, får vi "kr" til svar.

$kg \cdot \frac{kr}{kg} = kr$

(Hugs at skråstreken i kr/kg er det same som brøkstrek, som igjen betyr divisjon.)

Fyll ut tabellen nedanfor.

Mengde eple (kg)	1	2	4	6
Prisen for epla (kr)

Pristabell

Mengde eple (kg)	1	2	4	6
Prisen for epla (kr)	30	60	120	180

Lag ei ny rad i tabellen. Rekn ut prisen per kg eple for dei ulike mengdene eple i tabellen. Då seier vi at vi reknar ut forholdet mellom prisen for epla og talet på kg eple.

Pris per kg eple

Vi lagar ei rad med overskrifta "Pris per kg" og dividerer tala i den andre rada med tala i den første rada.

Mengde eple (kg)	1	2	4	6
Pris (kr)	30	60	120	180
Pris per kg (kr/kg)	$\frac{30 kr}{1 kg} = 30 kr / kg$	$\frac{60 kr}{2 kg} = 30 kr / kg$	$\frac{120 kr}{4 kg} = 30 kr / kg$	$\frac{180 kr}{60 kg} = 30 kr / kg$

Det var sikkert ikkje ei overrasking at svaret vart 30 kr/kg overalt i den tredje rada. Når vi undersøker forholdet mellom to storleikar slik vi har gjort over og finn at dette forholdet er konstant, seier vi at storleikane er proporsjonale.

Kva storleikar er proporsjonale her?

Storleikar som er proporsjonale

Det er storleikane talet på kg eple og prisen for epla som er proporsjonale storleikar. (Det er desse to vi har rekna ut forholdet mellom.)

Det konstante forholdet kallar vi proporsjonalitetskonstanten. Kva er proporsjonalitetskonstanten i dette dømet?

Proporsjonalitetskonstanten

Proporsjonalitetskonstanten i dømet er 30 kr/kg, det vil seie den storleiken vi kallar kiloprisen.

Grafisk framstilling av proporsjonale storleikar

Punktet med koordinatar 1 og 30 teikna inn i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 3,5 og y-aksen går frå 0 til 90. Tittelen på x-aksen er x, mengde eple (kg), og tittelen på y-aksen er y, pris (kr). Illustrasjon. — Punktet (1, 30) teikna inn i eit koordinatsystem. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan lage oss eit koordinatsystem som på biletet. Der har vi valt å ha talet på kg eple på førsteaksen ( $x$ -aksen) og prisen på epla på andreaksen ( $y$ -aksen). Då kan vi sjå på tala i første rad i tabellane over som $x$ -verdiar og tala i andre rad som $y$ -verdiar.

$x$ -verdien i første kolonne, 1, høyrer saman med $y$ -verdien i første kolonne, 30. Dette kan vi sjå på som eit punkt som vi kan skrive på koordinatform som $(1, 30)$ . Vi kan teikne punktet i koordinatsystemet ved å gå frå talet 1 på $x$ -aksen oppover til vi møter den vassrette linja frå 30 på $y$ -aksen, sjå biletet.

Skriv opp dei tre andre punkta vi får frå tabellen.

Andre punkt frå tabellen

Vi får punkta $(2, 60), (4, 120)$ og $(6, 180)$ .

I det interaktive GeoGebra-arket under kan du dra i dei fire punkta. Når du dreg dei på rett plass i koordinatsystemet, blir dei grøne.

Filer

Last ned GeoGebra-fila her(GGB)

Korleis ligg punkta i forhold til kvarandre når punkta er på rett plass i koordinatsystemet?

Svar

Punkta ligg på ei rett linje.

Kva er spesielt med denne linja?

Svar

Linja går gjennom origo.

Ein formel for kor mykje vi betaler for $x$ kg eple

Kor mykje må du betale for $x$ kg eple?

Pris for x kg eple

Vi gjer som vi har gjort lenger oppe: multipliserer talet på kg med kiloprisen, som betyr at vi multipliserer $x$ med talet 30. Dersom vi kallar prisen for epla for $y$ , blir resultatet

$y = 30 x$

Dette blir ein formel for kor mykje vi skal betale i kroner for $x$ kg eple.

I formlar tek vi sjeldan med einingar fordi vi har andre bokstavar som er symbol for storleikar. Då unngår vi samanblanding av einingar og symbol.

Algebrafeltet i GeoGebra som viser 4 punkt øvst og inntastingsfeltet nedst. Skjermutklipp. — Innskrivingsfelt i algebrafeltet i GeoGebra. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi kan teikne den rette linja $y = 30 x$ med GeoGebra. Korleis trur du denne linja ligg i forhold til dei fire punkta? Finn svaret ved å skrive inn formelen for linja i algebrafeltet til venstre i dette GeoGebra-arket på nettet eller last ned GeoGebra-arket under. Innskrivingsfeltet er nedst til høgre ved plussteiknet, sjå biletet.

Får du ei linje som passar med dei fire punkta?

Filer

GeoGebra-fil til dømet(GGB)

Døme: butikkmedarbeidar

Stablar av daglegvarer i matbutikk. Foto. — Bilete: Svein Erik Furulund / CC BY-NC-SA 4.0

Vilde jobbar deltid i ein daglegvarebutikk, og kvar veke noterer ho ned i ein tabell talet på timar ho jobbar, og lønna ho får.

Vekenummer	1	2	3	4	5
Arbeidstid (timar)	6	5	8	10	2
Lønn (kr)	1 350	1 125	1 800	2 250	450

Undersøk om talet på arbeidstimar og lønna er proporsjonale storleikar.

Tips til løysing

Gjer som i dømet med epla over.

Resultatet av undersøkinga

Vi lagar ei ny rad i tabellen og tek lønna for kvar dag og dividerer på talet på arbeidstimar den dagen.

Vekenummer	1	2	3	4	5
Arbeidstimar (timar)	6	5	8	10	2
Lønn (kr)	1 350	1 125	1 800	2 250	450
Lønn/arbeidstimar (kr/time)	225	225	225	225	225

Vi får at lønna per arbeidstime er den same, 225 kr/time. Då er lønna og talet på arbeidstimar proporsjonale storleikar. Vi kan slå fast at Vilde har fast timelønn.

Kva er proporsjonalitetskonstanten?

Proporsjonalitetskonstanten

Proporsjonalitetskonstanten er 225 kr/time, det vil seie den storleiken vi kallar timelønna.

Lag ei grafisk framstilling av lønna til Vilde ved å bruke tala i tabellen med talet på timar og lønn. La talet på timar vere langs $x$ -aksen. Bruk GeoGebra.

Tips til den grafiske framstillinga

Vi må teikne punkta vi får frå tabellen, med talet på timar og lønn i eit koordinatsystem. I GeoGebra skriv vi inn punkta direkte i algebrafeltet. Til dømes skriv vi (6,1350) for det første punktet i tabellen og trykker enter.

For å få aksetitlar kan du høgreklikke på ein ledig plass i koordinatsystemet og velje "Grafikkfelt ...". Vel fanen "xAkse", og skriv aksetittelen inn i feltet "Namn på aksen:". Trykk enter. Vel så fanen "yAkse" og gjer det same.

Grafisk framstilling

Frå tabellen får vi punkta

$(6, 1 350), (5, 1 125), (8, 1 800), (10, 2 250)$ og $(2, 450)$

I GeoGebra skriv vi inn punkta i algebrafeltet direkte som dei står. Til dømes skriv vi inn det første punktet ved å skrive (6,1350) og trykke enter.

Tala frå tabellen i oppgåva er teikna som punkt i eit koordinatsystem. Illustrasjon. — Grafisk framstilling av lønna til Vilde som funksjon av talet på arbeidstimar. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

For å få fram koordinatane til eit punkt i staden for namnet kan du gå til innstillingane for punktet ved å høgreklikke på punktet. Vel fanen "Basis", og i nedtrekksmenyen ved "Vis namn" vel du "Verdi".

Ligg punkta på ei rett linje?

Svar

Ja, det ser ut som punkta ligg på ei rett linje.

Vi kan bruke linjeverktøyet til GeoGebra (sjå biletet) til å teikne ei linje som går gjennom to punkt.

Ikon og nedtrekksmeny som viser korleis du vel linjeverktøyet i GeoGebra. Skjermutklipp. — Linjeverktøyet i GeoGebra. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi vel linjeverktøyet.
Vi klikkar på punktet med $x$ -koordinat lik 2 og deretter på punktet med $x$ -koordinat lik 10, altså dei to punkta som er lengst frå kvarandre.

Alternativ framgangsmåte: Dersom punktet med $x$ -koordinat 2 heiter $A$ i algebrafeltet til GeoGebra og punktet med $x$ -koordinat 10 heiter $B$ , kan vi i algebrafeltet skrive Linje(A,B).

Resultatet blir ei linje med formel $y = 225 x$ , sjå nedanfor. Du kan sjå formelen for linja i algebrafeltet i GeoGebra. Linja går gjennom alle dei fem punkta i tillegg til origo.

Grafen til y er lik 225 x er teikna i eit koordinatsystem der x-aksen går frå 0 til 12. I tillegg er 5 punkt på grafen markerte. Illustrasjon. — Grafisk framstilling av lønna til Vilde som funksjon av talet på arbeidstimar. Bilete: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Lag ein formel $y$ for lønna når Vilde jobbar $x$ timar.

Formel for lønna

Vi har at lønna er lik timelønna multiplisert med talet på timar. Vi får

$y = 225 x$

Dette er, som vi kunne vente, den same formelen som vi fekk med linjeverktøyet over.

Kunne vi, då vi skulle sjekke for proporsjonalitet, ha delt talet på timar på lønna i staden for å dele lønna på talet på timar?

Forklaring

Ja, vi kunne det. Då ville vi i staden for den faste lønna per arbeidstime på 225 kr/time få det faste talet på timar per krone på 0,00444 time/kr. Men sidan timelønn er den storleiken som blir brukt, er det mest praktisk å gjere det slik vi har gjort det.

Oppsummering

Ta stilling til påstandane nedanfor.

Film om proporsjonale storleikar

Video: Olav Kristensen / CC BY-NC-SA 4.0