Vekstfaktor og prosentvis endring

a) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%+10 \%=110 \%=1,1$$.

b) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%+50 \%=150 \%=1,5$$.

c) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%+27,5 \%=127,5 \%=1,275$$.

d) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%+7,2 \%=107,2 \%=1,072$$.

e) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%+1,53 \%=101,53 \%=1,015 3$$.

f) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%+0,6 \%=100,6 \%=1,006$$.

Løysing med bruk av formel for vekstfaktor:

a) Vekstfaktoren blir $$ 1+\frac{10}{100}=1+0,1=1,10$$.

b) Vekstfaktoren blir $$ 1+\frac{50}{100}=1+0,5=1,50$$.

c) Vekstfaktoren blir $$ 1+\frac{27,5}{100}=1+0,275=1,275$$.

d) Vekstfaktoren blir $$ 1+\frac{7,2}{100}=1+0,072=1,072$$.

e) Vekstfaktoren blir $$ 1+\frac{1,53}{100}=1+0,015 3=1,015 3$$.

f) Vekstfaktoren blir $$ 1+\frac{0,6}{100}=1+0,006=1,006$$.

a) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%-10 \%=90 \%=0,9$$.

b) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%-50 \%=50 \%=0,5$$.

c) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%-27,5 \%=72,5 \%=0,725$$.

d) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%-7,2 \%=92,8 \%=0,928$$.

e) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%-1,53 \%=98,47 \%=0,984 7$$.

f) Vekstfaktoren blir $$ 100 \%-0,6 \%=99,4 \%=0,994$$.

Løysing med bruk av formel for vekstfaktor:

a) Vekstfaktoren blir $$ 1-\frac{10}{100}=1-0,1=0,90$$.

b) Vekstfaktoren blir $$ 1-\frac{50}{100}=1-0,5=0,50$$.

c) Vekstfaktoren blir $$ 1-\frac{27,5}{100}=1-0,275=0,725$$.

d) Vekstfaktoren blir $$ 1-\frac{7,2}{100}=1-0,072=0,928$$.

e) Vekstfaktoren blir $$ 1-\frac{1,53}{100}=1-0,015 3=0,9847$$.

f) Vekstfaktoren blir $$ 1-\frac{0,6}{100}=1-0,006=0,994$$.

a) $$ 1,50=150 \%=100 \%+50 \%$$. Vekstfaktoren svarer til ein auke på 50 %.

b) $$ 1,35=135 \%=100 \%+35 \%$$. Vekstfaktoren svarer til ein auke på 35 %.

c) $$ 0,75=75 \%=100 \%-25 \%$$. Vekstfaktoren svarer til ein reduksjon på 25 %.

d) $$ 1,05=105 \%=100 \%+5 \%$$. Vekstfaktoren svarer til ein auke på 5 %.

e) $$ 0,96=96 \%=100 \%-4 \%$$. Vekstfaktoren svarer til ein reduksjon på 4 %.

f) $$ 2,45=245 \%=100 \%+145 \%$$. Vekstfaktoren svarer til ein auke på 145 %.

Vekstfaktoren blir $$ 100 \%+25 \%=125 \%=1,25$$.

Ny pris på vara blir $500 \mathrm{kr}·1,25=625 \mathrm{kr}$.

Vekstfaktoren blir $$ 100 \% -25 \%=75 \%=0,75$$.

Ny pris på vara blir $500 \mathrm{kr}·0,75=375 \mathrm{kr}$.

Emilie prøver først å rekne ut kva 25 prosent svarer til. Då føreset ho at 375 kroner svarer til 100 prosent, noko det ikkje gjer. Dei 375 kronene svarer til det som er igjen etter at det er trekt frå 25 prosent, det vil seie 75 prosent. Det er den opphavlege prisen som svarer til 100 prosent.

Emilie skulle derfor ha delt den nye prisen på vekstfaktoren 0,75 for å rekne seg tilbake til den opphavlege prisen:

$$ \frac{375 \mathrm{kr}}{0,75}=500 \mathrm{kr}$$

Dette stemmer med det vi fann i oppgåve a).

Ein auke på 12 prosent gir vekstfaktoren 1,12.

Eit avslag på 20 prosent gir vekstfaktoren 0,80.

Den nye prisen på vara blir

$1 500 \mathrm{kr}·1,12·0,80=1 344 \mathrm{kr}$

Vi må finne vekstfaktoren for den totale endringa.

• Vekstfaktoren – alternativ 1
  
  Vi reknar ut vekstfaktoren ved å dele den nye verdien på den opphavlege verdien.
  
  $$ \frac{1 344 \mathrm{kr}}{1 500 \mathrm{kr}}=0,896$$

• Vekstfaktoren – alternativ 2
  
  Dersom vi multipliserer saman dei to vekstfaktorane i oppgåve a), vil vi få eitt tal som vil vere vekstfaktor for prisendringa frå 1 500 kroner til 1 344 kroner.
  
  $$ 1,12·0,8=0,896$$
  
  Merk at med alternativ 2 treng vi ikkje kjenne prisane for å rekne ut den totale prosentvise endringa.

Når vekstfaktoren er 0,896, er det totalt sett ein prosentvis nedgang. Den nye prisen er 89,6 prosent av den opphavlege. Da har vi nedgang i prisen på

$$ 100 \%-89,6 \%=10,4 \%$$

Vi kan òg finne prosenten ved å bruke formelen for vekstfaktoren. Då må vi løyse likninga

$$ 0,896 = 1-\frac{p}{100}$$

Vi kan løyse likninga med manuell rekning. Dersom vi bruker CAS i GeoGebra, får vi dette:

Totalt sett har prisen på vara vorte redusert med 10,4 prosent.

I linje 2 i CAS har vi skrive $1 og trykt på knappen $$ \boxed{{\approx }_{}^{}}$$ for å få resultatet i første linje skrive som eit desimaltal.

Vi kan ikkje rekne direkte med prosentane fordi dei ikkje blir rekna av det same talet. Dei 20 prosentane i prisreduksjon blir ikkje rekna av den opphavlege prisen.

Eit avslag på 12 prosent gir vekstfaktoren 0,88.

Ein prisauke på 20 prosent gir vekstfaktoren 1,20.

Den nye prisen på vara blir

$1 500 \mathrm{kr} ·0,88·1,20=1 584 \mathrm{kr}$

Vekstfaktoren for heile endringa er

$$ \frac{1 584 \mathrm{kr}}{1 500 \mathrm{kr}}=1,056=105,6 \%$$

Prisauken er derfor på 5,6 prosent.

Alternativt kan vi rekne ut den totale vekstfaktoren som produktet av dei to vekstfaktorane.

$0,88·1,20=1,056$

Vi kan ikkje rekne direkte med prosentane fordi dei ikkje blir rekna av det same talet. Dei 20 prosentane i prisauke blir ikkje rekna av den opphavlege prisen.

Eit avslag på 10 prosent gir vekstfaktoren 0,90.

Eit avslag på 5 prosent gir vekstfaktoren 0,95.

Den nye prisen på vara blir

$900 \mathrm{kr}·0,90·0,95=769,50 \mathrm{kr}$.

Vekstfaktoren for heile endringa er

$$ \frac{769,50 \mathrm{kr}}{900 \mathrm{kr}}=0,855=85,5 \%$$

Vidare har vi at

$$ 100 \%-85,5 \%=14,5 \%$$

Prisen er i alt sett ned med 14,5 prosent.

Alternativt kan vi rekne ut den totale vekstfaktoren som produktet av dei to vekstfaktorane.

$0,90·0,95=0,855$

Vi kan løyse oppgåva utan å finne prisen etter at genseren kom på sal. Med CAS i GeoGebra kan det sjå slik ut.

Forklaring på kva som er gjort på kvar linje:

På linje 1 er forholdet mellom prisen etter den første endringa og den opphavlege prisen rekna ut. Dette gir vekstfaktoren for den første endringa.

På linje 2 er vekstfaktoren for den første endringa multiplisert med vekstfaktoren for den andre endringa for å finne vekstfaktoren for den totale endringa.

På linje 3 løyser vi ei likning for å finne prosenten.

Totalt sett har prisen på genseren gått ned med 10 prosent (frå den opphavlege prisen på 800 kroner).

Når eit tal doblar seg, aukar det med like mykje som seg sjølv, det vil seie 100 prosent.

Ei dobling betyr at vi multipliserer med 2. Dette må derfor òg vere vekstfaktoren. Vi kontrollerer svaret ved å bruke formelen for vekstfaktoren:

$$ 1+\frac{100}{100}=1+1=2$$

Ei halvering må bety at talet blir multiplisert med $$ \frac{1}{2}$$, som då blir vekstfaktoren.

$$ 8=800 \%=100 \%+700 \%$$

Talet blir 700 % større.

Vi kan òg setje opp ei likning ut frå formelen for vekstfaktoren.

$$ \begin{array}{rcl}1+\frac{p}{100} & =& 8\\ \frac{p}{100} & =& 7\\ p & =& 700\end{array}$$

Talet blir 700 prosent større.

Vekstfaktoren blir

$$ 100 \%+600 \%=700 \%=7$$

Alternativt kan vi bruke formelen for vekstfaktoren:

$$ 1+\frac{600}{100}=1+6=7$$