Brøkrekning
Vi deler ein pizza i åtte like store delar. Kvart pizzastykke er då lik éin åttedel av heile pizzaen. Éin åttedel kan skrivast som .
Vi vel ein annan skrivemåte som vi kallar brøk.
skriv vi som . Divisjonsteiknet (deleteiknet) har blitt til brøkstrek, men det betyr framleis divisjonsteikn.
Talet på topp, talet over brøkstreken, kallar vi teljar fordi det «tel opp» talet på pizzastykke.
Talet under brøkstreken fortel storleiken, verdien, på pizzastykka, og det blir kalla for nemnar, på tilsvarande måte som kroner eller euro er nemningar på pengebeløp.
Dersom vi har av ein pizza, betyr det at vi har delt ein pizza i fem like store stykke og telt opp fire av desse.
Kva med , då? Det må jo bety at vi har delt pizzaen i tre like store stykke og tatt sju av desse. Er det mogleg?
Ja, det er mogleg, men då må vi ha meir enn éin pizza! Nedanfor ser du at vi må ha to heile pizzaer og eit stykke utanom:
Dei tre gule pizzastykka på figuren, som utgjer av pizzaen, og det lyseblå stykket, som utgjer av pizzaen, må til saman utgjere fire åttedelar av heile pizzaen.
Det må bety at .
Motsett, når vi frå fire åttedelar trekkjer frå éin åttedel, så må vi sitje igjen med tre åttedelar. Det tyder at .
Dette betyr at regelen nedanfor må vere rett.
Når vi legg saman eller trekkjer frå brøkar med same nemnar, legg vi saman eller trekkjer frå teljarane og beheld nemnarane.
Av figuren ser vi vidare at det lyseblå og dei gule pizzastykka utgjer halve pizzaen.
Det må bety at . Det blir altså rett om vi i brøken delar på 4 i teljar og nemnar. Vi får
Motsett blir det også rett når vi i brøken multipliserer (gongar) med 4 i teljar og nemnar. Dette gir
Det er lov i ein brøk å multiplisere med same tal i teljar og nemnar utan at brøken endrar verdi. Vi kallar det å utvide ein brøk.
Det er lov i ein brøk å dividere/dele med same tal i teljar og nemnar utan at brøken endrar verdi. Vi kallar det å forkorte ein brøk.
Vi kan no leggje saman (addere) og trekkje frå (subtrahere) alle slags brøkar.
Vi skal trekkje saman brøkane
Først skriv vi talet 3 som ein brøk. Talet 3 endrar ikkje verdi om vi deler på 1.
Så utvidar vi alle brøkane slik at dei får like nemnarar.
Vi multipliserer så ut i teljar og nemnar i alle brøkane og får
No har brøkane same nemnar, og vi kan trekkje saman teljarane og behalde nemnaren.
Til slutt må vi undersøkje om svaret kan skrivast på ein enklare måte ved å forkorte bøken . Det er her ikkje mogleg sidan ingen tal kan dele både 6 og 17. 17 er eit primtal.
Fire pizzastykke som kvar utgjer av heile pizzaen, utgjer til saman av heile pizzaen fordi
Det må bety at . Når vi gongar eit heilt tal med ein brøk, så må vi altså gonge det heile talet med teljaren for at det skal bli rett.
Sidan det heile talet også kan skrivast som ein brøk, får vi at
Vi får rett svar når vi multipliserer teljar med teljar og nemnar med nemnar.
Vi ser også at dersom vi tar halvparten av eit pizzastykke som utgjer éin tredel av ein heil pizza, så må vi få éin seksdel av heile pizzaen. Det må bety at reknestykket nedanfor må vere rett.
Det betyr at det også her blir rett når vi gongar teljar med teljar og nemnar med nemnar.
Regelen blir som følgjer:
Vi multipliserer to brøkar ved å multiplisere teljar med teljar og nemnar med nemnar.
Heile tal deler vi med 1 slik at dei kan oppfattast som brøkar.
Eksempel 1
Hugs å forkorte svaret!
Eksempel 2
Her kan vi ikkje forkorte svaret.
Kari har 6 liter raudbrus i ein svær behaldar og skal fordele brusen i tolitersflasker. Kor mange flasker treng ho?
Reknestykket blir . Ho treng 3 flasker.
Men dersom ho skal fordele brusen i halvlitersflasker, kor mange flasker treng ho då?
Vi skjønar at svaret må bli 12 flasker.
Dersom vi skal rekne på same måte som ovanfor, er altså .
Å dividere med er altså det same som å multiplisere med 2.
Vi kan skrive reknestykket slik:
Vi ser altså at når vi skal dividere med ein brøk, må vi multiplisere med den omvende brøken for å få rett resultat.
Å dividere med ein brøk er det same som å multiplisere med den omvende brøken.
Eksempel
Som dømet over viser, kan vi oppfatte divisjonsteiknet som ein brøkstrek.
Då kan vi skrive divisjonen slik:
Ein slik brøk, som består av brøkar i teljar og nemnar, kallar vi ein broten brøk. Vi skil mellom hovudbrøken og småbrøkane.
Småbrøkane og er brøkane i teljar og nemnar i hovudbrøken. La oss rekne ut stykket ved å bruke reknereglane for divisjon av brøkar.
Vi kan forenkle ein broten brøk ved å utvide hovudbrøken med samnemnaren for småbrøkane.
Vi ser at vi får same resultatet som ovanfor.
Lag ditt eige døme og forklar ein medelev omgrepa "broten brøk", "hovudbrøk" og "småbrøkar"! Klarer de å forenkle brøken?