Sinus, cosinus og tangens til vinklar større enn 90°

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi startar med ein vinkel $v$ som er mindre enn 90°, slik som på figuren over. Vi opprettar så motståande katet, slik at vi får ein rettvinkla trekant med hypotenus lik 1. Vi kallar katetane for $a$ og $b$.

Vi får

$\begin{array}{rcl}\sin v& = & \frac{\mathrm{Motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{Hypotenus}}=\frac{b}{1}=b \\ & & \\ \cos v& =& \frac{\mathrm{Hosliggjande} \mathrm{katet}}{\mathrm{Hypotenus}}=\frac{a}{1}=a\end{array}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi legg eit koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen, slik at vinkelen sitt høgre bein blir liggjande langs $x$-aksen. Vi legg vidare ein sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kallar sirkelen for einingssirkelen.

Vi kallar skjeringspunktet mellom einingssirkelen og venstre vinkelbein til $\mathit{v}$ for $\mathit{P}$.

Vi kallar vidare koordinatane til punktet $P$ for $(a, b)$.

Vi får då at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til $\mathit{P}$, $\mathbf{ }\mathbf{cos}\mathit{v}\mathbf{=}\mathit{a}$, og at sinus til $\mathit{v}$ blir lik andrekoordinaten til $\mathit{P}$, $\mathbf{ }\mathbf{sin}\mathit{v}\mathbf{=}\mathit{b}$.

Det betyr at $P=(\cos v, \sin v)$.

Vi ser også at $\tan v=\frac{b}{a}=\frac{\sin v}{\cos v} \mathrm{når} \cos v\ne 0$

Ettersom avstanden frå origo til $P$ er lik 1, har vi også på grunn av Pytagoras si setning at kvadratet av $\sin v$ pluss kvadratet av $\cos v$ er lik 1.

${\left(\sin v\right)}^2+{\left(\cos v\right)}^2=1$

Vi kan no definere sinus, cosinus og tangens til ein generell vinkel $\mathit{v}$.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Plasser vinkel $v$ i eit koordinatsystem saman med einingssirkelen. Sjå figuren til høgre.

La $P$ vere skjeringspunktet mellom vinkelen sitt venstre vinkelbein og einingssirkelen.

Vi får

$\cos v=$ førstekoordinaten til $P$

$\sin v =$ andrekoordinaten til $P$

Vi får også at

$\tan v=\frac{\sin v}{\cos v} \mathrm{når} \cos v\ne 0$

Vi har no ein definisjon som også gjeld for vinklar som er større enn 90°.

Dra i glidebrytaren for å endre på vinkelen 𝑣 i det interaktive GeoGebra-arket nedanfor. Observer kva som skjer.

Bruk den interaktive einingssirkelen når du svarer på spørsmåla.

Oppgåve 1

Kan sin𝑣 og cos𝑣 ha negative verdiar?

Oppgåve 2

Bruk det interaktive GeoGebra-arket til å finne cos 120°.

Oppgåve 3

Kan du finne to vinklar som har sinusverdi lik 0,5?