Tangens

Løyser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(23°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 0.424\end{array}}$

Løyser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(45°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 1\end{array}}$

Dette er ein eksakt verdi.

Løyser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(73.6°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 3.398\end{array}}$

Løyser i GeoGebra:

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(30°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 0.577\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(30°\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \to \frac{1}{3} \sqrt{3}\end{array}} \end{gathered}$$

Her har vi òg teke med eksakt utrekning for å vise at tangens til 30 grader er ein eksakt verdi.

Løyser i GeoGebra:

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(60°\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 1.732\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(60°\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \to \sqrt{3}\end{array}} \end{gathered}$$

Her har vi òg teke med eksakt utrekning for å vise at tangens til 60 grader er ein eksakt verdi.

Løyser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(0.3456\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 19.1°\end{array}}$

Alternativt kan vi løyse likninga direkte.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(\mathrm{v}°\right)=0.3456\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{v}=19.1\}\end{array}}$

$v=19,1°$

Løyser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(1\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 45°\end{array}}$

$v=45°$

Løyser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\sqrt{3}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 60°\end{array}}$

$v=60°$

Løyser i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 30°\end{array}}$

$v=30°$

Den ukjende kateten AC er motståande katet til vinkel B. AB er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(28.0°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{14.0}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=7.4\}\end{array}}$

Den ukjende kateten er 7,4.

Den ukjende kateten AB er hosliggjande katet til vinkel B. AC er motståande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(28.0°\right)=\frac{7.0}{\mathrm{AB}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AB}=13.17\}\end{array}}$

Den ukjende kateten er 13.

Den ukjende kateten AB er motståande katet til vinkel C. AC er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:

$\tan C=\frac{AB}{AC}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(62.0°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{7.0}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AB}=13.17\}\end{array}}$

Den ukjende kateten er 13.

Sida som har lengde 5, er motståande katet til vinkel v. Sida som har lengde 2, er hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser følgjande likning i GeoGebra:

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(\mathrm{v}°\right)=\frac{5}{2}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{v}=68.2\}\end{array}}$

$v=68,2°$

Den gitte sida BC er motståande katet til den gitte vinkelen A. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, AB. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

$\tan A=\frac{BC}{AB}$

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

$\begin{array}{rcl}& & \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(32°\right)=\frac{2.5}{\mathrm{AB}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AB}=4\}\end{array}}\\ & & \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AC}}^2=4^2+2.5^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=-4.72, \mathrm{AC}=4.72\}\end{array}}\end{array}$

Vi får at $AB=4,0 \mathrm{og} AC=4,7$.

Den gitte sida AB er hosliggjande katet til den gitte vinkelen A. Då kan vi bruke tangens til å finne motståande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

$\begin{array}{rcl}\tan A& = & \frac{BC}{AB}\\ & & \\ A{C}^2& =& A{B}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}& & \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(22.8°\right)=\frac{\mathrm{BC}}{3.1}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{BC}=1.303\}\end{array}}\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array} \\ \begin{array}{rcl}& & \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AC}}^2=1.{303}^2+3.1^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=-3.363, \mathrm{AC}=3.363\}\end{array}}\end{array} \end{gathered}$$

(Vi tar med tre desimalar for BC for å få større nøyaktigheit i utrekninga i linje 2.)

Vi får at $$ BC=1,3 \mathrm{og} AC=3,4$$.

Den gitte sida AB er motståande katet til den gitte vinkelen C. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AC.

$\begin{array}{rcl}\tan C& = & \frac{AB}{BC} \\ & & \\ A{C}^2& =& A{B}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(85.9°\right)=\frac{3.1}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{BC}=0.222\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AC}}^2=3.1^2+0.{222}^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=-3.108, \mathrm{AC}=3.108\}\end{array}} \end{gathered}$$

(Vi tar med tre desimalar for BC for å få større nøyaktigheit i utrekninga i linje 2.)

Vi får at $$ BC=0,22 \mathrm{og} AC=3,11$$.

Den gitte sida AC er motståande katet til vinkel B, som har gitt tangens. Då kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{AC}{BC} \\ & & \\ A{B}^2& =& A{C}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3}{5}=\frac{3.0}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{BC}=5\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AB}}^2=3.0^2+5^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AB}=-5.83, \mathrm{AB}=5.83\}\end{array}} \end{gathered}$$

Vi får at $BC=5.0 \mathrm{og} AB=5.8$.

(Utrekninga i linje 1 hadde vi klart utan CAS òg...)

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og reknar i GeoGebra.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\frac{3}{5}\right)\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx 30.96°\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 90-30.96\\ \overline{)4}& & \\ & & \approx 59.04°\end{array}} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}\angle B & =& 31°\\ & & \\ \angle A & =& 59°\end{array}$

Den gitte sida BC er hosliggjande katet til vinkel B, som har gitt tangens. Da kan vi bruke tangens til å finne hosliggjande katet, BC. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra. Så bruker vi deretter Pytagoras' setning for å finne hypotenusen AB.

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{AC}{BC} \\ & & \\ A{B}^2& =& A{C}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \frac{3}{5}=\frac{\mathrm{AC}}{7.0}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=4.2\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AB}}^2=4.2^2+7.0^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AB}=-8.16, \mathrm{AB}=8.16\}\end{array}} \end{gathered}$$

Vi får at $AC=4,2 \mathrm{og} AB=8,2$.

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel B og reknar i GeoGebra.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\frac{3}{5}\right)\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx 30.96°\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & 90-30.96\\ \overline{)4}& & \\ & & \approx 59.04°\end{array}} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rcl}\angle B & =& 31° \\ & & \\ \angle A & =& 59°\end{array}$

(Trekanten er dermed formlik med trekanten i den førre oppgåva. Dette kunne vi sagt med éin gong ut ifrå at begge trekantane er rettvinkla og vinkel B er lik i trekantane fordi dei har same tangensverdi.)

Treet blir motståande katet til vinkel B i den rettvinkla trekanten vi får av geometrien. Avstanden AB på 30 meter blir hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen av tangens og løyser likninga vi får i GeoGebra.

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(33°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{30}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=19.48\}\end{array}}$

Høgda på treet er $19$ meter.

Avstanden AC frå punktet A over til steinen på den andre sida av elva blir motståande katet til vinkel B mens avstanden AB blir hosliggjande katet. Vi bruker definisjonen på tangens og reknar i GeoGebra.

$\tan B=\frac{AC}{AB}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(84°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{10}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=95.14\}\end{array}}$

Vi må hugse på å trekkje frå avstanden frå A til elvebreidda. Breidda over elva blir då

$95 \mathrm{m}-8 \mathrm{m}=87 \mathrm{m}$

Mastehøgda på båten blir motståande katet til siktevinkelen. Avstanden ut til båten blir hosliggjande katet. Vi kallar avstanden ut til båten for x. Vi bruker definisjonen på tangens til siktevinkelen, og kan då setje opp likninga nedanfor som vi løyser i GeoGebra.

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(1.5°\right)=\frac{12}{\mathrm{x}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{x}=458.26\}\end{array}}$

Avstanden ut til båten er omlag 460 m.

Vi reknar først ut sida DE, som blir hosliggjande katet i den rettvinkla trekanten CDE.

$DE=4,5-1,9=2,6$

Vi bruker definisjonen på tangens til vinkel D og reknar i GeoGebra.

$\tan D=\frac{CE}{DE}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{atand}\left(\frac{1.9}{2.6}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 36.16°\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{C}:=90+\left(180-90-36.2\right)\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx \mathrm{C}:=143.8°\end{array}} \end{gathered}$$

$\angle D=36,2°$

$\angle C =143,8°$

Så bruker vi Pytagoras' setning og bestemmer CD.

$\begin{array}{l}C{D}^2=C{E}^2+D{E}^2\end{array}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{CD}}^2=1.9^2+2.6^2\\ \overline{)3}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{CD}=-3.22, \mathrm{CD}=3.22\}\end{array}}$

$CD=3.2$

$\begin{array}{rcl}\angle C& = & \angle A=51.7°\\ & & \\ \angle D& =& \angle B=90°+(180°-90°-51.7°)=128.3°\end{array}$

Den siste utrekninga gjer vi kanskje enklast med CAS i GeoGebra.

Vi må rekne ut lengda EB. Det gjer vi ved å rekne ut lengda AE ved å bruke at trekanten AED er rettvinkla. Vi bruker definisjonen på tangens, og etterpå bruker vi formelen for arealet av eit trapes. Vi reknar alt i GeoGebra.

$\tan A=\frac{DE}{AE}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(51.7°\right)=\frac{2.1}{\mathrm{AE}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AE}=1.66\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{BE}:=5.1-1.66\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx \mathrm{BE}:=3.44\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Arealet}:=\frac{\mathrm{BE}+5.1}{2}·2.1\\ \overline{)3}& & \\ & & \approx \mathrm{Arealet}:=8.97\end{array}} \end{gathered}$$

Arealet er 9,0.

Vi finn først AD ved å bruke Pytagoras. Deretter kan vi rekne ut omkrinsen, og vi løyser med GeoGebra.

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{AD}}^2=1.{66}^2+2.1^2\\ \overline{)4}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AD}=-2.68, \mathrm{AD}=2.68\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{Omkrinsen}:=2·\left(5.1+2.68\right)\\ \overline{)5}& & \\ & & \approx \{\mathrm{Omkrinsen}:=15.56\}\end{array}} \end{gathered}$$

Omkrinsen er 15,6.

a) I denne trekanten vil AC vere motståaende katet til vinkel B. Dersom vinkel A er den rette vinkelen, vil AB vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kor lang AB må vere for at kravet skal vere oppfylt.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{AC}{AB}\\ & & \\ \frac{3}{5}& =& \frac{6}{AB}\\ & & \\ 3·AB& =& 6·5\\ & & \\ 3AB& =& 30\\ & & \\ AB& =& 10\end{array}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

b) Her vil AB vere motståande katet til vinkel C. Dersom vinkel A er den rette vinkelen, vil AC vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kva lengda AB må vere for at kravet skal vere oppfylt.

$\begin{array}{rcl}\tan C& = & \frac{AB}{AC}\\ & & \\ \frac{1}{2}& =& \frac{AB}{6}\\ & & \\ \frac{1}{2}·6& =& AB\\ & & \\ 3& =& AB\end{array}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Stein Aanensen, Olav Kristensen

c) Her vil BC vere motståande katet til vinkel A. Dersom vinkel C er den rette vinkelen, vil AC vere hosliggjande katet. Vi reknar ut kva lengda BC må vere for at kravet skal vere oppfylt.

$\begin{array}{rcl}\tan A& = & \frac{BC}{AC}\\ & & \\ 3& =& \frac{BC}{1,2}\\ & & \\ 3·1,2& =& BC\\ & & \\ 3,6& =& BC\end{array}$

Oppgåva løysar vi enklast med å bruke den trigonometriske funksjonen sinus eller cosinus. Her viser vi korleis oppgåva kan løysast med tangens.

Vi finn AC uttrykt ved BC.

$\begin{array}{rcl}\tan B& = & \frac{3}{5}\\ & & \\ \frac{AC}{BC}& =& \frac{3}{5}\\ & & \\ AC& =& \frac{3}{5}BC\end{array}$

Vi bruker så Pytagoras' setning og set opp ei likning for å finne BC. Vi løyser likninga i GeoGebra.

$\begin{array}{rcl}A{B}^2& = & A{C}^2+B{C}^2\\ & & \\ & =& {\left(\frac{3}{5}BC\right)}^2+B{C}^2\end{array}$

$$\begin{gathered} \boxed{\begin{array}{rcl}& & 5.8^2={\left(\frac{3}{5}·\mathrm{BC}\right)}^2+{\mathrm{BC}}^2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{BC}=-4.97, \mathrm{BC}=4.97\}\end{array}} \\ \boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{AC}:=\frac{3}{5}·4.97\\ \overline{)2}& & \\ & & \approx \mathrm{AC}:=2.98\end{array}} \end{gathered}$$

Vi får at $AC=3,0 \mathrm{og} BC=5,0$.