Hopp til innhald
Oppgåve

Polynomdivisjon

Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan òg prøve å løyse oppgåvene med CAS.

1.9.1

Utfør polynomdivisjon.

a) (2x2-x-1):(x-1)

Vis fasit

(2x2-x-1):(x-1)=2x+1 -(2x2-2x) x-1   -(x-1)0

b) (3x2-x-2):(3x+2)

Vis fasit

(3x2-x-2):(3x+2)=x-1 -(3 x2+2x)-3x-2-(-3x-2)0

c) (2x2-x-1):(x-2)

Vis fasit

(2x2-x-1):(x-2)=2x+3+5x-2-(2x2 -4x) 3x-1-(3x-6)5

1.9.2

Bruk polynomuttrykka i tabellen, og avgjer kva faktorar dei er delelege med. Fyll ut resten av tabellen.

Polynom

 

Faktor

(x-1)

Faktor

(x+1)

Faktor

(x-2)

x3+2x2-x-2

Ja

Ja

Nei

2x3+x2-13x+6

2x3-14x+12

2x3+4x2-2x-4

x3-2x2-x+2

Vis fasit

Vi veit at (x-x1) er ein faktor i eit polynomuttrykk dersom polynomuttrykket blir lik null når  x=x1. Vi bruker dette når vi løyser oppgåva.

Polynom

 

Faktor

(x-1)

Faktor

(x+1)

Faktor

(x-2)

x3+2x2-x-2

Ja

Ja

Nei

2x3+x2-13x+6

Nei

Nei

Ja

2x3-14x+12

Ja

Nei

Ja

2x3+4x2-2x-4

Ja

Ja

Nei

x3-2x2-x+2

Ja

Ja

Ja


1.9.3

Bestem talet a slik at divisjonen går opp.

a) (2x3+3x2-3x-2):(x-a)

Vis fasit

Prøving og feiling viser at tredjegradspolynomet blir lik null for  x=1. Vi veit då at (x-1) er ein faktor i polynomet, og at divisjonen går opp, men a kan ha andre verdiar òg. Vi utfører polynomdivisjonen.

(2x3+3x2-3x-2):(x-1)=2x2+5x+2-(2x3-2x2)5x2-3x-2-(5x2-5x)2x-2-(2x-2)0

Vi løyser så andregradslikninga.

2x2+5x+2=0x=-5±52-4·2·22·2x1=-5+34=-12  x2=-5-34=-2

Det betyr at (x+12) og (x+2) òg er faktorar i tredjegradspolynomet, og at a kan ha verdiane -2,-12 og 1 for at divisjonen skal gå opp.

b) (x3-3x2-ax+3a):(x-2)

Vis fasit

Vi set inn  x=2  i tredjegradspolynomet og finn kva verdi av a som fører til at polynomet blir lik null.

23-3·22-a·2+3·a=0

8-12-2a+3a=0

a=4

Når  a=4, går divisjonen opp.

c) (x3-ax2-5x+6):(x+2)

Vis fasit

Vi set inn  x=-2  i tredjegradspolynomet og finn kva verdi av a som fører til at polynomet er lik null.

(-2)3-a·(-2)2-5·(-2)+6 = 08-4a+10+6=0-4a=-8a=2

Når  a=2, går divisjonen opp.

1.9.4

Utfør polynomdivisjonane, og faktoriser tredjegradspolynoma.

a) (x3-6x2+11x-6):(x-1)

Vis fasit

(x3-6x2+11x-6):(x-1)=x2-5x+6 -(x3-x2)-5x2+11x-6   -(-5x2+5x)6x-6-(6x-6)0

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at x3-6x2+11x-6=(x2-5x+6)(x-1)

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga.

Vi set  x2-5x+6=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

x2-5x+6=0x=-(-5)±(-5)2-4·1·62·1x=5±12x1=2  x2=3

Det betyr at
x2-5x+6=1(x-2)(x-3)=(x-2)(x-3)

og den ferdige faktoriseringa blir

x3-6x2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)

b) (6x3+x2-9x-4):(2x+1)

Vis fasit

(6x3+x2-9x-4):(2x+1)=3x2-x-4 -(6x3+3x2)-2x2-9x-4   -(-2x2-x)-8x-4-(-8x-4)0

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

6x3+x2-9x-4=(3x2-x-4)(2x+1)

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga. Vi set  3x2-x-4=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi  3x2-x-4=0.

x=-(-1)±(-1)2-4·3·(-4)2·3

x=1±76x1=-1  x2=43

Det betyr at

3x2-x-4=3(x-(-1))(x-43)=(x+1)(3x-4)

og den ferdige faktoriseringa blir

x+13x-42x+1

c) (x3-x2-4x+4):(x-1)

Vis fasit

(x3-x2-4x+4):(x-1)= x2-4 -(x3-x2)-4x+4-(-4x+4)0

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

(x3-x2-4x+4)=(x2-4)·(x-1)

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av konjugatsetninga.

x2-4=(x-2)(x+2)

Den ferdige faktoriseringa blir

(x3-x2-4x+4)=(x-2)·(x+2)·(x-1)

1.9.5

Faktoriser uttrykka.

a) x3+4x2+x-6

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x3+4x2+x-6 er lik null for  x=1. Vi veit då at (x-1) er faktor i  x3+4x2+x-6.

Vi utfører divisjonen.

(x3+4x2+x-6):(x-1)=x2+5x+6 -(x3-x2)5x2+x-6-(5x2-5x)6x-6-(6x-6)0

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

x3+4x2+x-6=(x2+5x+6)(x-1)

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga.

Vi set  x2+5x+6=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

x2-5x+6 = 0x = -5±52-4·1·62·1x = -5±12x1 = -3  x2=-2

Det betyr at

x2+5x+6=1(x-(-3))(x-(-2))=(x+3)(x+2)

og den ferdige faktoriseringa blir

x3+4x2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)

b) 2x3-14x+12

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  2x3-14x+12  er lik null for  x=1. Vi veit då at  x-1  er ein faktor i  2x3-14x+12.

Vi utfører divisjonen.

2x3+0x2-14x+12):(x-1)=2x2+2x-12 -(2x3-2x2)2x2-14x+12   -(2x2-2x)-12x+12-(-12x+12)0

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

2x3-14x+12=2x2+2x-12x-1

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga.

Vi set  2x2+2x-12=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

2x2+2x-12 = 0    (delar  2)x2+x-6 = 0x = -1±12-4·1·(-6)2·1x = -1±52x1 = -3   x2=2

Det betyr at

2x2+2x-12=2(x-(-3))(x-2)=2(x+3)(x-2)

og den ferdige faktoriseringa blir

2x3-14x+12=2(x-1)(x-2)(x+3)

c) 2x3+4x2-6x

Vis fasit

Tredjegradsuttrykket kan skrivast

2x3+4x2-6x=2x(x2+2x-3)

Tredjegradsuttrykket er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga.

Vi set x2+2x-3=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

x2+2x-3 = 0x = -2±22-4·1·(-3)2·1x = -2±42x1 = -3   x2=1

Det betyr at

x2+2x-3=1(x-(-3))(x-1)=(x+3)(x-1)

og den ferdige faktoriseringa blir

2x3+4x-6x=2x(x-1)(x+3)

d) 3x2+x3-3-x

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x3+3x2-x-3  er lik null for  x=1.

Vi veit då at  x-1  er faktor i  x3+3x2-x-3.

Vi utfører divisjonen.

(x3+3x2-x-3):(x-1)=x2+4x+3-(x3-x2)   4x2-x-3-(4x2-4x)3x-3-(3x-3)0

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

x3+3x2-x-3=(x2+4x+3)(x-1)

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga. Vi set  x2+4x+3=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

x2+4x+3 = 0x = -4±42-4·1·32·1x = -4±22x1 = -3    x2=-1

Det betyr at

x2+4x+3=1(x-(-3))(x-(-1))=(x+3)(x+1)

og den ferdige faktoriseringa blir

x3+3x2-x-3=(x-1)(x+1)(x+3)

e) x3+3x2+4x+2

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x3+3x2+4x+2 er lik null for  x=-1. Vi veit då at  x+1  er faktor i  x3+3x2+4x+2.

Vi utfører divisjonen.

(x3+3x2+4x+2):(x+1)=x2+2x+2 -(x3+x2)2x2+4x+2   -(2x2+2x)2x+2-(2x+2)0

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

x3+3x2+4x+2=(x2+2x+2)(x+1)

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga.

Vi set  x2+2x+2=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

x2+2x+2 = 0x = -2±22-4·1·22·1x = -2±-42

Vi får ingen reelle løysingar. Det betyr at  x2+2x+2  ikkje kan faktoriserast. Den ferdige faktoriseringa blir

x3+3x2+4x+2=(x2+2x+2)(x+1)

f) x3-3x2+4

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x3-3x2+4  er lik null for  x=-1. Vi veit då at  x+1  er faktor i  x3-3x2+4.

Vi utfører divisjonen.

(x3-3x2+0x+4):(x+1)=x2-4x+4 -(x3+x2)-4x2+0x+4   -(-4x2-4x)4x+4-(4x+4)0

Divisjonen gjekk opp. Det betyr at

x3-3x2+4=(x2-4x+4)(x+1)

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Vi kan faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktsetninga.

Vi set  x2-4x+4=0.

Ved å bruke abc-formelen får vi

x2-4x+4 = 0x = -(-4)±(-4)2-4·1·42·1x = 4±02x1 = x2=2

Det betyr at

x2-4x+4=(x-2)(x-2)

og den ferdige faktoriseringa blir

x3-3x2+4=(x+1)(x-2)(x-2)=(x+1)(x-2)2