Hopp til innhald
Oppgåve

Rasjonale uttrykk som inneheld tredjegradspolynom

Oppgåvene skal løysast utan hjelpemiddel, men du kan sjekke svaret med CAS.

1.9.20

Forkort uttrykka.

a) x3-4x2x2+6x-40

Vis fasit

Teljaren kan faktoriserast ved å setje felles faktor utanfor.

x3-4x2x2+6x-40=x2(x-4)x2+6x-40

Vi ser på nemnaren  x2+6x-40  og bruker abc-formelen eller "stiremetoden" (ser etter kva to tal som til saman dannar sum =6  og produkt =-40 ) og faktoriserer nemnaren:  x2+6x-40 =(x-4)(x+10).

Uttrykket er no lik

 x2(x-4)x2+6x-40=x2(x-4)(x-4)(x+10)=x2(x+10)

b) x3-4x2+9x-3

Vis fasit

Vi undersøkjer om teljaren er deleleg med  x-3. Dersom teljaren er deleleg med (x-3), vil polynomet  x3-4x2+9  vere lik 0 når x=3. Vi set inn x=3 og reknar ut: 33-4·32+9=27-36+9=0

Svaret vart 0, og polynomdivisjonen vil gå opp.

x3-4x2+0x+9):(x-3)= x2-x-3 -(x3-3x2)-x2+0x+9   -(-x2+3x)-3x+9-(-3x+9)0

Vi får

x3-4x2+9x-3=x2-x-3

c) 3x3-5x2-42x2-4x

Vis fasit

Vi faktoriserer nemnaren  2x2-4x=2x(x-2). Vi sjekkar først om teljaren kan delast på ein av faktorane i nemnaren. Vi ser at teljaren ikkje kan blir 0 ved å setje inn  x=0 , så einaste moglegheit for forkorting er faktoren  (x-2). Dersom teljaren er deleleg med  (x-2), så vil teljaren bli 0 når vi set inn  x=2:

3·23-5·22-4=24-20-4=0

Då veit vi at polynomdivisjonen vil "gå opp".

(3x3-5x2-0x-4):(x-2)= 3x2+x+2-(3x3-6x2)x2-0x-4-(x2-2x)2x-4-(2x-4)0

Vi har faktorisert tredjegradspolynomet i teljaren og funne at 3x3-5x2-4=(x-2)(3x2+x+2). Vi kan no forkorte brøken.

3x3-5x2-42x2-4x=(x-2)(3x2+x+2)2xx-2=3x2+x+22x

(Kvifor prøvde vi ikkje å faktorisere uttrykket  3x2+x+2  vidare?)

d) x3+x2-9x-9x2-9

Vis fasit

Nemnaren kan faktoriserast ved hjelp av konjugatsetninga.

x2-9=(x-3)(x+3)

x3+x2-9x-9x2-9=x3+x2-9x-9(x-3)(x+3)

Vi sjekkar om teljaren kan delast på ein av faktorane i nemnaren. Vi prøver  (x-3):

33+32-9·3-9=27+9-27-9=0

Då veit vi at polynomdivisjonen vil gå opp:

(x3+x2-9x-9):(x-3)=x2+4x+3 -(x3-3x2)4x2-9x-9   -(4x2-12x)3x-9-(3x-9)0

No har vi  x3+x2-9x-9x2-9=(x-3)(x2+4x+3)(x-3)(x+3).

Vi bruker abc-formelen eller "stiremetoden" for å faktorisere  x2+4x+3. x2+4x+3=(x+1)(x+3)

Vi kan no forkorte brøken: x3+x2-9x-9x2-9=(x-3)(x+3)(x+1)(x-3)(x+3)=x+1