Hopp til innhald
Fagartikkel

Tredjegradslikningar

Korleis løyser vi tredjegradslikningar?

Innleiing

Ei tredjegradslikning er ei likning som kan ordnast slik at vi får eit tredjegradspolynom på venstre side av likskapsteiknet og null på høgre side. Ei generell tredjegradslikning ser då slik ut

ax3+bx2+cx+d=0

På sida Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynom faktoriserer vi tredjegradspolynom når vi har eit kjent nullpunkt.
Då er vi også i stand til å løyse tredjegradslikningar med eit kjent nullpunkt.

Sidan  ax3+bx2+cx+d=ax-x1x-x2x-x3  der  x1, x2 og x3  er nullpunkta til  ax3+bx2+cx+d, blir løsninga av likninga

        ax3+bx2+cx+d = 0ax-x1x-x2x-x3=0                          x=x1,  x=x2  eller x=x3

Vi faktoriserte tidlegare uttrykket  2x3+7x2+2x+3, og fekk at

2x3-7x2+2x+3=2x-3x+12x-1

Tredjegradslikninga  2x3+7x2+2x+3=0  kan då løysast slik

       2x3+7x2+2x+3 = 02x-3x+12x-1=0                         x=3,   x=-12  eller x=1

Vi tek med eit døme som viser heile framgangsmåten.

Eksempel

Vi skal løyse tredjegradslikninga  3x3+2x2=3x+2.

Først ordnar vi likninga slik at vi får 0 på høgre side.

         3x3+2x2 = 3x+23x3+2x2-3x-2=0

I mange oppgåver vil vi kunne finne eitt av nullpunkta (ei av løysingane) ut i frå opplysningar som er gitt i oppgåva. Her må vi ved hjelp av prøving og feiling finne den første løysinga av likninga.

Det er ofte lurt å prøve med  x=1  først. Da set vi  x=1  inn i likninga.

Venstre side:  3·13+2·12-3·1-2=3+2-3-2=0

Høgre side:  0

Full klaff med ein gong! Vi har dermed vist at  x-1  er ein faktor i uttrykket  3x3+2x2-3x-2, og vi utfører polynomdivisjonen

3x3+2x2-3x-2):(x-1)=3x2+5x+2 -(3x3-3x2)5x2-3x-2   -(5x2-5x)2x-2-(2x-2)0

Vi har altså

3x3+2x2-3x-2=x-13x2+5x+2

Vi finn så nullpunkta til  3x2+5x+2.

3x2+5x+2 = 0            x=-5±52-4·3·22·3=-5±16            x1=-1        x2=-23

Tredjegradslikningen blir

                3x3+2x2 = 3x+2       3x3+2x2-3x-2=03x-1x+1x+23=0

og har altså løysingane

x=1,  x=-1  eller x=-23

Løysing av likningar med digitale verktøy

Vi løyser også likningar med CAS i GeoGebra ved å skrive likninga rett inn i CAS-feltet. Dersom vi vil ha eksakte løysingar, klikkar vi så på knappen x  =.

3x3+2x2=3x+21Løys:  x=-1, x=-23, x=1

For tilnærma løysingar klikkar vi på x  .

3x3+2x2=3x+21NLøys:  x=-1, x=-0.67, x=1

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0