Hopp til innhald
Oppgåve

Tredjegradslikningar

Oppgåvene nedanfor skal du løyse utan bruk av hjelpemiddel. Du kan òg prøve å løyse oppgåvene med CAS.

1.9.10

a) Vis at (x-1) er ein faktor i polynomet  x3+2x2-x-2.

Vis fasit

Vi set inn  x=1  i polynomet.

13+2·12-1-2=0, og  x-1  er dermed ein faktor i polynomet.

b) Løys likninga  x3+2x2-x-2=0.

Vis fasit

(x-1) er ein faktor i likninga, og vi gjer først polynomdivisjon.

x3+2x2-x-2):(x-1)= x2+3x+2 -(x3-x2)3x2-x-2-(3x2-3x)2x-2-(2x-2)0

Då er  x3+2x2-x-2=(x-1)(x2+3x+2).

Vi finn nullpunkta til andregradspolynomet ved å setje

x2+3x+2=0

 x = -3±32-4·1·22·1x = -3±12x1 = -2    x2=-1

Tredjegradslikninga blir

x3+2x2-x-2 = 0(x-1)(x+1)(x+2) = 0

med løysingane  x=-2, x=-1  og  x=1.

1.9.11

a) Prøv deg fram, og finn ei løysing av likninga  x3+4x2+x-6=0.

Vis fasit

Vi prøver oss fram, og finn at uttrykket  x3+4x2+x-6  er lik null for  x=1. Vi veit då at  x-1  er faktor i  x3+4x2+x-6.

b) Løys likninga  x3+4x2+x-6=0.

Vis fasit

 (x-1) er ein faktor i  x3+4x2+x-6, og vi gjer først polynomdivisjon.

(x3+4x2+x-6):(x-1)= x2+5x+6 -(x3-x2)5x2+x-6   -(5x2-5x)6x-6-(6x-6)0

Då er  x3+4x2+x-6=(x-1)(x2+5x+6).

Vi finn nullpunkta til  x2+5x+6.

x2+5x+6 = 0x = -5±52-4·1·62·1= -5±12x1 = -3  x2=-2

Tredjegradslikninga blir

x3+4x2+x-6 = 0(x-1)(x+2)(x+3) = 0

med løysingane  x=-3, x=-2  og  x=1.

1.9.12

Gitt tredjegradspolynomet  ax3+4x2-2x-4.

a) Bestem a slik at polynomet er deleleg med (x+1).

Vis fasit

Dersom polynomet skal vere deleleg med  x+1, må polynomet vere lik null for  x=-1. Vi set  x=-1  og set polynomet lik null.

ax3+4x2-2x-4 = 0a·(-1)3+4·(-1)2-2·(-1)-4 = 0-a+4+2-4 = 0a = 2

Når  a=2 , er polynomet deleleg med  x+1.

b) Løys likninga  ax3+4x2-2x-4=0  når ei av løysingane av likninga er  x=-1 .

Vis fasit

Når  x=-1, er  a=2 (sjå oppgåve 1.8.12 a).

(x+1)  er ein faktor i likninga, og vi gjer polynomdivisjonen.

(2x3+4x2-2x-4):(x+1)=2x2+2x-4 -(2x3+2x2)2x2-2x-4   -(2x2+2x)-4x-4-(-4x-4)0

Då er  2x3+4x2-2x-4=(x+1)(2x2+2x-4).

Vi finn nullpunkta til  2x2+2x-4.

2x2+2x-4 = 0    (:2)x2+x-2 = 0x = -1±12-4·1·(-2)2·1= -1±32x1 = 1    x2=-2

Tredjegradslikninga blir

2x3+4x2-2x-4 = 02(x+1)(x-1)(x+2) = 0

med løysingane  x=-2, x=-1  og  x=1.

1.9.13

Løys likninga ved rekning.

a) x3-3x-2=0

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x3-3x-2  er lik null for  x=2. Vi veit då at  x-2  er faktor i  x3-3x-2.

(x3+0x2-3x-2):(x-2) = x2+2x+1 -(x3-2x2)2x2-3x-2-(2x2-4x)x-2-(x-2)0

Då er  x3-3x-2=(x-2)(x2+2x+1).

Andregradsuttrykket  x2+2x+1  kan faktoriserast med første kvadratsetning  x2+2x+1=(x+1)2.

Tredjegradslikninga blir

x3-3x-2 = 0(x-2)(x+1)(x+1) = 0

med løysingane  x=-1 og x=2

b) x3+x-10=0

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x3+x-10  er lik null for  x=2. Vi veit då at  x-2  er faktor i  x3+x-10.

(x3+0x2+x-10):(x-2)= x2+2x+5 -(x3-2x2)2x2+x-10-(2x2-4x)5x-10-(5x-10)0

Då er  x3+x-10=(x-2)(x2+2x+5).

Vi finn nullpunkta til  x2+2x+5.

x2+2x+5 = 0x = -2±22-4·1·52·1

Denne har ingen reelle løysingar.

Tredjegradslikninga blir

x3+x-10 = 0(x-2)(x2+2x+5) = 0

med løysinga  x=2.

c) x4-2x3-x2+2x=0

Vis fasit

x4-2x3-x2+2x=x(x3-2x2-x+2)

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x3-2x2-x+2

er lik null for  x=2. Vi veit då at  x-2  er faktor i  x3-2x2-x+2.

Polynomdivisjon gir

(x3-2x2-x+2):(x-2)=x2-1-(x3-2x2)-x+2-(-x+2)0

Då er  x3-2x2-x+2=(x-2)(x2-1).

Andregradsuttrykket  x2-1  kan faktoriserast ved hjelp av konjugatsetninga  x2-1=(x-1)(x+1).

Fjerdegradslikninga blir

x4-2x3-x2+2x = 0x(x-2)(x-1)(x+1) = 0

med løysingane  x=-1,  x=0,  x=1  og  x=2.

d) x4-5x2+4=0

Vis fasit

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x4-5x2+4  er lik null for  x=2. Vi veit då at  x-2  er faktor i  x4-5x2+4. Polynomdivisjon gir

(x4+0x3-5x2+ 0x+ 4):(x-2)= x3+2x2-x-2-(x4-2x3)2x3-5x2+ 0x+ 4-(2x3-4x2)-x2+ 0x+ 4-(-x2+ 2x)-2x+ 4-(-2x+ 4)0Då er x4-5x2+4=(x-2)(x3+2x2-x-2).

Vi prøver oss fram og finn at uttrykket  x3+2x2-x-2 

er lik null for  x=1. Vi veit då at  x-1  er faktor i  x3+2x2-x-2. Polynomdivisjon gir

(x3+2x2-x-2):(x-1)= x2+3x+2 -(x3-x2)3x2-x   -(3x2-3x)2x-2-(2x-2)0

Då er

 x4-5x2+4 = (x-2)(x3+2x2-x-2)= (x-2)(x-1)(x2+3x+2)

Andregradspolynomet bruker vi stiremetoden på og får

x2+3x+2=x+2x-1

Fjerdegradslikninga blir

 x4-5x2+4 = 0(x-2)(x-1)(x+2)x+1 = 0

Løysingane blir

x=-2 ,  x=-1 ,  x=1 ,  x=2

Alternativ løysingsmetode (som er mykje raskare):

Set  x4=x22  i likninga, og bruk til dømes stiremetoden.