Logaritmesetningane. Forenkling av logaritmeuttrykk.

a) $$ \lg 3a+\lg \frac{a}{3}=\lg 3+\lg a+\lg a-\lg 3=2\lg a$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg 3a+\lg \frac{a}{3}-3\lg \sqrt[3]{a}\\ & = & \lg 3+\lg a+\lg a-\lg 3-3\lg a^{\frac{1}{3}}\\ & = & \lg 3+\lg a+\lg a-\lg 3-3\left(\frac{1}{3}\lg a\right)\\ & = & \lg 3+2\lg a-\lg 3-\lg a=\lg a\end{array}$$

c)

$$ \begin{array}{rcl}& & \ln 8b-\ln 4b-\ln 2+\ln b\\ & =& \ln 8+\ln b-(\ln 4+\ln b)-\ln 2+\ln b\\ & =& \ln 2^3+\ln b-\ln 2^2-\ln b-\ln 2+\ln b\\ & =& 3\ln 2+\ln b-2\ln 2-\ln b-\ln 2+\ln b\\ & =& \ln b\end{array}$$

d)

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg \frac{a^3}{b}\\ & =& \lg a^3-\lg b\\ & =& 3\lg a-\lg b\end{array}$$

e)

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg (a^3·b^4)+\lg \frac{a^2}{b^3}-\lg b\\ & =& \lg a^3+\lg b^4+\lg a^2-\lg b^3-\lg b\\ & =& 3\lg a+4\lg b+2\lg a-3\lg b-\lg b\\ & =& 5\lg a\\ & & \end{array}$$

f)

$$ \begin{array}{rcl}& & \ln 2x-\ln \frac{2}{x}\\ & =& \ln 2+\ln x-(\ln 2-\ln x)\\ & =& \ln 2+\ln x-\ln 2+\ln x\\ & =& 2\ln x\end{array}$$

g)

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg (x^2·\sqrt[3]{x^2})+\lg \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\\ & =& \lg x^2+\lg \sqrt[3]{x^2}+\lg 1-\lg \sqrt[3]{x}\\ & =& 2\lg x+\lg x^{\frac{2}{3}}+\lg 1-\lg x^{\frac{1}{3}}\\ & =& 2\lg x+\frac{2}{3}\lg x+\lg 1-\frac{1}{3}\lg x\\ & =& \frac{7}{3}\lg x+0\\ & =& \frac{7}{3}\lg x\end{array}$$

Logaritmen til eit produkt er lik summen av logaritmen til kvar av faktorane.

Logaritmen til ein brøk er lik differansen mellom logaritmen til teljaren og logaritmen til nemnaren.

Logaritmen til ein potens er lik produktet av eksponenten og logaritmen til grunntalet.

Ut ifrå definisjonen av logaritmar gjeld følgjande:

$$ a={10}^{\lg a} , \mathrm{b}={10}^{\lg b} \mathrm{og} \mathrm{a}·\mathrm{b}={10}^{\lg (a·b)}$$$$ $$

Derfrå følgjer

$$ {10}^{\lg a}·{10}^{\lg b}={10}^{\lg (a·b)}$$

Potensreglane seier at vi adderer eksponentane når to potensar med det same grunntalet blir multipliserte. Det gir

$$ {10}^{\lg a+\lg b}={10}^{\lg (a·b)}$$

Når grunntala i likninga er like, må eksponentane òg vere like. Derfor

$$ \lg a+\lg b=\lg (a·b)$$

Vi byggjer på definisjonen til potensar $$ x^2=(x{)}^2$$:

$$ {10}^{\lg x^2}=({10}^{\lg x}{)}^2$$

Reglane for potensrekning seier at vi multipliserer eksponentane innanfor og utanfor parentesen til ein potens:

$$ \mathrm{(}{10}^{\lg x}{)}^2={10}^{\lg x·2}={10}^{2·\lg x}$$

$$ {10}^{\lg x^2}={10}^{2·\lg x}$$

I ein likskap der grunntala på begge sider er like, må eksponentane vere like kvarandre. Av det følgjer

$$ \lg x^2=2\lg x$$

$$\begin{gathered} \lg \sqrt[3]{a}=\lg a^{\frac{1}{3}} \\ \end{gathered}$$

$$ {10}^{\lg a}=({10}^{3·\lg a}{)}^{\frac{1}{3}}$$

Reglane for potensrekning seier at vi multipliserer eksponentane innanfor og utanfor parentesen til ein potens:

$$ {10}^{\lg a}={10}^{3·\lg a·\frac{1}{3}}={10}^{3·\frac{1}{3}·\lg a}$$

$$ {10}^{\lg a}={10}^{\lg a}$$

$$ \begin{array}{lcl}& & 4(1+\ln x+\ln x)\\ & =& 4(1+2\ln x)\\ & =& 4+8\ln x \mathrm{eller}\\ & =& 4+\ln x^8\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg 5+\lg 6-\lg 2\\ & =& \lg (5·6)-\lg 2\\ & =& \lg 30-\lg 2\\ & =& \lg \left(\frac{30}{2}\right)\\ & =& \lg 15\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \frac{1}{3}(\lg a+2\lg b)\\ & =& \frac{1}{3}(\lg a+\lg b^2)\\ & =& \frac{1}{3}\lg (a·b^2)\\ & =& \lg (a·b^2{)}^{\frac{1}{3}}\\ & =& \lg \sqrt[3]{a{b}^2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \ln (x+4)-3\ln x-\ln y\\ & =& \ln (x+4)-\ln x^3-\ln y\\ & =& \ln (x+4)-(\ln x^3+\ln y)\\ & =& \ln (x+4)-\ln (x^3·y)\\ & =& \ln \left(\frac{x+4}{x^{3}y}\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg 8x^2-2\lg 2x\\ & =& \lg 8+\lg x^2-2(\lg 2+\lg x)\\ & =& \lg 2^3+2\lg x-2\lg 2-2\lg x\\ & =& 3\lg 2-2\lg 2\\ & =& \lg 2\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & \ln 6+2\ln 2\\ & =& \ln 6+\ln 2^2\\ & =& \ln 6+\ln 4\\ & =& \ln \left(6·4\right)\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} \ln 24\end{array}$$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & \ln x+\ln 8x-\ln 2x\\ & =& \ln \left(x·8x\right)-\ln 2x\\ & =& \ln \left(\frac{8x^2}{2x}\right)\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} \ln 4x\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & 2\lg 6-\lg 9+\frac{1}{3}\lg 27\\ & =& \lg 6^2-\lg 9+\lg {27}^{\frac{1}{3}}\\ & =& \lg 36-\lg 9+\lg 3\\ & =& \lg \left(36·3\right)-\lg 9\\ & =& \lg \left(\frac{36·3}{9}\right)\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} \lg 12\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}& & \ln x+2\ln \sqrt{x}-\ln x^2\\ & =& \ln x+2\ln x^{\frac{1}{2}}-2\ln x\\ & =& \ln x+\frac{1}{2}·2\ln x-2\ln x\\ & =& \ln x+\ln x-2\ln x\\ & =& 0\end{array}$$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & \lg 24\\ & =& \lg \left(8·3\right)\\ & =& \lg 8+\lg 3\\ & =& \lg 2^3+\lg 3\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 3\lg 2+\lg 3\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 3a+b\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}& & \lg 72\\ & =& \lg \left(8·9\right)\\ & =& \lg 8+\lg 9\\ & =& \lg 2^3+\lg 3^2\\ & =& 3\lg 2+2\lg 3\\ & =& 3a+2b\end{array}$$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg \frac{9}{8}\\ & =& \lg 9-\lg 8\\ & =& \lg 3^2-\lg 2^3\\ & =& 2\lg 3-3\lg 2\\ & =& 2b-3a\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & \lg \frac{64}{81}\\ & =& \lg \frac{8^2}{3^4}\\ & =& \lg 8^2-\lg 3^4\\ & =& 2\lg 8-4\lg 3\\ & =& 2\lg 2^3-4\lg 3\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 3·2\lg 2-4\lg 3\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 6\lg 2-4\lg 3\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 6a-4b\end{array}$$

Første feil:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l} \ln 8x^2-\ln \frac{4}{x}+\ln \frac{2}{x^3}\\ =\boxed{2\ln 8x}-\ln 4-\ln x+\ln 2-\ln x^3\end{array} \\ \end{gathered}$$

Eksponenten 2 høyrer berre til $$ x$$ og ikkje til heile leddet. Det er skilnad på $$ 8x^2$$ og $$ {\left(8x\right)}^2$$.

Andre feil:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l} \ln 8x^2-\ln \frac{4}{x}+\ln \frac{2}{x^3}\\ =2\ln 8x\boxed{-\ln 4-\ln x}+\ln 2-\ln x^3\end{array} \\ \end{gathered}$$

Det må setjast parentes rundt uttrykket slik at $$ -\ln \frac{4}{x}$$ blir $$ -\left(\ln 4-\ln x\right)$$. Slik vil det siste leddet i parentesen, $$ -\ln x$$, bli positivt når vi løyser opp parentesen.

Nytt løysingsforslag:

$$ \begin{array}{rcl}& & \ln 8x^2-\ln \frac{4}{x}+\ln \frac{2}{x^3}\\ & =& \ln 8+\ln x^2-\left(\ln 4-\ln x\right)+\ln 2-\ln x^3\\ & =& \ln 2^3+2\ln x-\left(\ln 2^2-\ln x\right)+\ln 2-3\ln x\\ & =& 3\ln 2+2\ln x-\left(2\ln 2-\ln x\right)+\ln 2-3\ln x\\ & =& 3\ln 2+2\ln x-2\ln 2+\ln x+\ln 2-3\ln x\\ & =& 2\ln 2\end{array}$$