Logaritmar og logaritmefunksjonen
På byrjinga av 1600-talet vart teleskopet funne opp. Det skjedde store framsteg innanfor astronomien. Arbeid med astronomi, navigasjon og trigonometriske berekningar førte til at matematikarar, fysikarar og astronomar etter kvart fekk behov for å rekne med tal med mange siffer.
For å lette arbeidet fann nokon ut at ved å bruke reknereglane for potensrekning, kunne multiplikasjon reduserast til addisjon og divisjon kunne reduserast til subtraksjon ved hjelp av det som har vorte kalla logaritmar.
Det var skotten John Napier (1550–1617) som byrja å rekne med logaritmar. Han fann ut at alle tal kan skrivast som potensar, og han byrja arbeidet med såkalla logaritmetabellar. Engelskmannen Henry Briggs (1561–1630) heldt fram dette arbeidet. Briggs brukte 10 som grunntal, og i 1624 gav han ut boka Arithmetica Logarithmica, som mellom anna inneheld ein tabell med logaritmane til tal frå 1 til 20 000.
Briggs var først og fremst interessert i arbeidet med logaritmar fordi han skjønte at logaritmerekning kunne vere til stor nytte når ein skulle utføre til dels lange og kompliserte berekningar innanfor navigasjon. Navigasjon var spesielt viktig for engelskmennene med tanke på tryggleiken til og forsvaret av landet.
For å forklare kva logaritmar er, skal vi ta utgangspunkt i potensrekning.
Vi skal multiplisere to store tal:
Frå potensrekninga veit vi at og .
Vi veit at potensar med same grunntal blir multiplisert ved å addere eksponentane og behalde grunntalet. Multiplikasjonen blir slik:
Multiplikasjonen blir redusert til addisjon av eksponentane i tiarpotensar. Det er desse eksponentane som er logaritmane – det vil seie at logaritmen (med 10 som grunntal) til 10 000 er 4 og logaritmen til 100 000 er 5.
Vi kunne i prinsippet ha brukt kva tal som helst som grunntal i potensen, men slik talsystemet vårt er oppbygd, er talet 10 eit naturleg val. Logaritmen med 10 som grunntal har fått namnet den briggske logaritmen. Den briggske logaritmen blir symbolisert med
Eksponentane/logaritmane treng heller ikkje vere heile tal – og det var her dei vart veldig nyttige. Under ser du dei 10 første tala i Briggs logaritmetabell (Briggs opererte med ei nøyaktigheit på 14 desimalar i tabellane sine)
x | lg x |
---|---|
1 | 0,000 0 |
2 | 0,301 0 |
3 | 0,477 1 |
4 | 0,602 1 |
5 | 0,699 0 |
6 | 0,778 2 |
7 | 0,845 1 |
8 | 0,903 1 |
9 | 0,954 2 |
10 | 1,000 0 |
For å multiplisere tala 2 og 3 kan vi då rekne slik:
Multiplikasjon blir erstatta av addisjon. Den siste overgangen finn vi ved å bruke tabellen baklengs.
No tenker du sikkert at det heilt klart hadde vore enklare å multiplisere direkte. Det er sjølvsagt rett akkurat for dette dømet, men tenk deg at du skulle multiplisere to tal med mange siffer utan kalkulator. Då hadde det vore lurt å kunne erstatte multiplikasjon med addisjon.
Multipliser tala 2 og 4 ved å bruke logaritmetabellen over og legge saman logaritmane til 2 og 4.
Definisjon
Den briggske logaritmen til eit positivt tal
Dersom
Vi kan altså skrive
På biletet har vi teikna grafen til funksjonen f gitt ved
Langs x-aksen kan vi lese av logaritmeverdiane til tala langs y-aksen.
Grafen viser til dømes at
Vi har at
Vi kan òg teikne grafen til logaritmefunksjonen
Ved å finne koordinatane til punkta
Legg òg merke til at logaritmefunksjonen berre eksisterer for positive tal. Dermed har vi at
Av grafane ser vi òg at begge funksjonane veks i heile definisjonsområdet.
På 1700-talet oppstod problemet med å derivere eksponentialfunksjonen
Logaritmen med
Definisjon
Den naturlege logaritmen til eit positivt tal
Dersom
Vi kan altså skrive
Med e som grunntal får vi då til dømes
Kva blir den naturlege logaritmen til
Som nemnt over, kan vi lage logaritmar med kva tal som helst. Vi har rekna med grunntala 10 og e, som er dei vanlegaste grunntala å bruke. Vi tek med eit døme på andre logaritmar òg.
Døme
Finn logaritmen til 25 med 5 som grunntal (
Den naturlege logaritmen og logaritmefunksjonen
Vi har nøyaktig same forhold mellom funksjonane
Logaritmetabellar vart brukte i norsk skule fram til 1970-talet. Då overtok kalkulatoren. Spør nokon vaksne du kjenner om dei hugsar logaritmetabellane. Kanskje nokon har ein gammal tabell liggande?
Logaritmar er framleis aktuelle. I dag kan du finne alle logaritmeverdiar ved hjelp av kalkulator eller andre digitale verktøy. På kalkulatorar blir det gjerne brukt log, som er den internasjonale nemninga for logaritmar med 10 som grunntal.
I CAS i GeoGebra kan vi skrive lg(2)
når vi skal rekne ut den briggske logaritmen til 2.
På same måte finn vi den naturlege logaritmen ved å skrive ln(2)
. Dersom vi skal finne logaritmen til 25 med 5 som grunntal, skriv vi log(5,25)
.