Hopp til innhald
Fagartikkel

Logaritmesetningane. Forenkling av logaritmeuttrykk.

Ved å bruke tre logaritmesetningar kan vi forenkle mange uttrykk og løyse likningar og ulikskapar som vi til no ikkje har kunna løyse utan digitale hjelpemiddel.

Dei tre logaritmesetningane

For  a, b>0 gjeld

Første logaritmesetning

lga·b=lga+lgb

Andre logaritmesetning

lgab=lga-lgb

Tredje logaritmesetning

lgax=xlga

Utleiing av første logaritmesetning

Definisjonen av logaritmar gir at a=10lga, b=10lgb og a·b=10lga·b.

Reglane for potensrekning gir vidare at a·b=10lga·10lgb=10lga+lgb.

Vi har då to uttrykk for a·b, og desse uttrykka må vere like.

10lga·b=10lga+lgb

To like potenser med same grunntal må ha like eksponentar.

Det tyder at lga·b=lga+lgb.

Utleiing av andre logaritmesetning

Definisjonen på logaritmar gir at a=10lga, b=10lgb og ab=10lgab.

Reglane for potensrekning gir vidare at ab=10lga10lgb=10lga-lgb.

Vi har då to uttrykk for ab, og desse uttrykka må vere like.

10lgab=10lga-lgb

To like potenser med same grunntal må ha like eksponenter.

Det tyder at lgab=lga-lgb .

Utleiing av tredje logaritmesetning

Definisjonen på logaritmar gir oss to skrivemåtar for ax

ax=10lgax   og    ax=10lgax

Reglane for potensrekning gir vidare at

10lgax=10lga·x=10x·lga

Vi har då to uttrykk for ax , og desse to uttrykka må vere like.

10lgax=10x·lga

To like potenser med same grunntal må ha like eksponentar.

Det tyder at lgax=x·lga .

Forenkling av logaritmeuttrykk

Vi viser berre korleis vi forenklar uttrykk med briggske logaritmar, men rekninga blir den same om lg er erstatta med ln.

Døme 1

Vi ønskjer å skrive uttrykket

lgx+lgx2

så enkelt som mogleg. Sidan logaritmar berre er definerte for positive tal, må vi her gå ut frå at x er større enn null sjølv om x kan vere negativ i uttrykket lgx2.

Vi kan skrive om uttrykket lgx2 ved hjelp av logaritmesetningalgax=xlga. Då får vi

lgx+lgx2=lgx+2lgx=3lgx

Døme 2

Vi ønskjer å skrive uttrykket

lg4x+4lg2x-lgx3+2lgx

så enkelt som mogleg. Sidan logaritmar berre er definerte for positive tal, må vi her gå ut frå at x er større enn null.

lg4x+4lg2x - lgx3+2lgx=lg4+lgx+4lg2-lgx-3lgx+2lgx12                                     =lg22+lgx+4lg2-4lgx-3lgx+2lgx12                                     =2lg2+lgx+4lg2-4lgx-3lgx+lgx                                     =6lg2-5lgx

Her har vi altså brukt at x=x12, og vi har trekt saman ledd med lg2og ledd med lgx .

Video om logaritmesetningane

Video: //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Video om forenkling av logaritmeuttrykk

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0
CC BY-SA 4.0Skrive av Olav Kristensen, Stein Aanensen og Bjarne Skurdal.
Sist fagleg oppdatert 18.08.2022