Logistisk vekst

Vi har frå sida Eksponentialfunksjonen som modell at eksponentialfunksjonen passar bra for utviklinga av ein aurebestand i eit vatn etter kalking dei første åra. Etter nokre år viste likevel den reelle utviklinga seg å avvike sterkt frå den utviklinga eksponentialfunksjonen viste. Veksten viste seg å stoppe opp mens modellen viser ein vekst som berre aukar og aukar.

Vi ser derfor om utviklinga i aurebestanden passar betre med ein logistisk modell.

Vi legg dataa frå den utvida tabellen (sjå sida Eksponentialfunksjon som modell) inn i reknearket i GeoGebra. Vi merkar cellene og klikkar på knappen for regresjonsanalyse.

No vel vi "Logistisk" som regresjonsmodell.

Vi ser at den logistiske modellen $g$ gitt ved

$g\left(x\right)=\frac{27,62}{1+6,85·e^{-0,4x}}$

passar godt med dei observerte verdiane heilt fram til 2010.

Vi overfører grafen til $$ g$$ til grafikkfeltet saman med punkta vi får frå tabellen.

Grafen fell godt saman med punkta, og $g$ er sannsynlegvis òg ein modell som kan seie noko om utviklinga av aurebestanden vidare.

I funksjonsuttrykket vil leddet $6,85·e^{-0,4x}$ i nemnaren gå mot null når $x$ blir veldig stor. Det betyr at etter modellen kan den maksimale aurebestanden ikkje overskride 27 620 individ. Dette er bereevna for aurevatnet.

Ei generell form for ein funksjon som beskriv ein logistisk modell er

$$ f\left(x\right)=\frac{B}{1+a·e^{-kx}}$$

der konstantane $$ B, a$$ og $$ k$$ er positive storleikar.

Spørsmål

Kvifor vil funksjonen $$ f\left(x\right)$$ nærme seg verdien $$ B$$ når $x$ blir veldig stor?

Talet $B$ viser kva den maksimale verdien av $f\left(x\right)$ kan vere.

Dersom funksjonen beskriv veksten til ein populasjon, kallar vi $B$ for bereevna til populasjonen.

Logistiske vekstkurver kan ofte brukast for å beskrive korleis talet på individ i ein populasjon endrar seg. Talet på individ aukar raskt i starten, men ytre faktorar fører etter kvart til at veksten minkar, og populasjonen når ein maksimal storleik.

Bereevna $B$ for eit område fortel kor mange individ av ein art som kan leve i det aktuelle området over lengre tid.

Talet på bakteriar i ein bakteriekultur kan ofte beskrivast med logistiske vekstmodellar.