Modellering med ukjend funksjonen

Jo større kvadrat vi klipper bort, jo høgare blir eska, men desto mindre blir eskebotnen. Kall sidekanten i kvadrata for $$ x$$, og lag ein funksjon $$ V\left(x\right)$$ for volumet av eska.

Merk: Kva verdiar kan $$ x$$ ha?

Når vi klipper bort kvadrat med sidekant lik $$ x$$, vil måla på eskebotnen vere $$ 2x$$ kortare enn yttermåla på papplata. Måla på eskebotnen blir derfor som på figuren nedanfor.

Vi finn volumet ved å multiplisere arealet av eskebotnen med høgda av eska, som er $$ x$$. Vi løyser oppgåva med CAS.

Merk at vi ikkje kan bruke løysinga  $$ x=22,64$$  i linje 3 fordi vi ikkje kan klippe bort så mykje. Vi bruker dobbeltderiverttesten i linje 4 og ser at grafen til $$ V$$ vender den hole sida ned når  $$ x=7,36$$. Dermed veit vi at grafen har eit toppunkt her.

Eska får altså størst volum når vi klipper bort kvadrat med sidekant 7,36 cm, og då er volumet av eska 6 564 cm³ eller 6,6 dm³.

Eska får størst volum når vi klipper bort kvadrat med sidekant 6,34 cm, og då er volumet av eska 5 196 cm³ eller 5,2 dm³.

Dette volumet er mindre enn volumet på eska i oppgåve a). Det kan sjå ut som at det største moglege volumet aukar jo meir like sidene i papplata er.

Papplata blir no eit kvadrat med sidekantar med lengde 45 cm.

Ved å gjere dei same utrekningane i CAS som før får vi at volumet av eska er størst om det blir klipt bort kvadrat med sidekant 7,5 cm. Då blir volumet 6 750 cm³ eller 6,75 dm³.

Merk at vi har ikkje bevist at det er papplata i oppgåve c) som gir størst eskevolum når omkrinsen på papplata ikkje blir endra.

Merk at vi ikkje kan bruke løysinga  $$ x=\frac{1}{2}s$$  i linje 2. (Kva er forresten grunnen til det?) Sidan vi har at  $$ s>0$$, får vi stadfesta i linje 3 at grafen til $$ V$$ vil ha eit toppunkt for  $$ x=\frac{1}{6}s$$ .

Volumet av eska blir størst dersom vi klipper bort kvadrat som er ein seksdel av heile sida på papplata, og då blir volumet $$ \frac{2}{27}{s}^3$$.

Kontroller at desse resultata stemmer med utrekningane i oppgåve c).

Merk òg at dette heller ikkje er bevis åleine på at det blir størst volum på eska dersom papplata med ein gitt omkrins er kvadratisk.

I linje 1 skriv vi opp formelen for omkrinsen til eit rektangel der lengda er $$ y$$, og breidda har vi kalla $$ b$$. Denne formelen blir løyst med omsyn på $$ b$$ slik at vi får eit uttrykk for breidda, slik oppgåva krev. I linje 2 skriv vi inn volumfunksjonen $$ V$$ omtrent som tidlegare i oppgåva.

Vi er no interesserte i å sjå korleis volumet endrar seg når vi endrar på $$ y$$. For å finne den største verdien for volumet når vi endrar på $$ y$$, må vi derivere $$ V$$ med omsyn på $$ y$$. Då bruker vi kommandoen "Derivert()", som gjer at vi kan bestemme at vi skal derivere med omsyn på $$ y$$ i staden for $$ x$$. Vi set den deriverte lik 0 og løyser likninga med omsyn på $$ y$$. Svaret seier at volumfunksjonen har eit ekstremalpunkt for  $$ y=\frac{1}{4}O$$, som er når papplata er kvadratisk. Vi må sjekke at løysinga i linje 3 er eit toppunkt. Til det bruker vi dobbeltderiverttesten. I linje 4 finn vi uttrykket for den dobbeltderiverte, som ikkje varierer med $$ y$$ og alltid er negativt. Då er løysinga i linje 3 eit toppunkt, og vi har vist at ut ifrå ei rektangulær papplate med ein gitt omkrins blir eskevolumet størst når papplata er kvadratisk.

I linje 5 lagar vi ein ny funksjon $$ V_2\left(x\right)$$ ut ifrå resultatet i den førre deloppgåva. Vi finn ekstremalpunkta til denne i linje 2, og vi ser at løysinga  $$ x=\frac{1}{8}O$$  ikkje kan brukast, for då blir heile papplata klipt bort. I linje 7 viser vi med dobbeltderiverttesten at den første løysinga i linje 2 gir eit toppunkt. I linje 8 får vi at det maksimale volumet $$ V_{maks}$$ eska kan få med ein gitt omkrins $$ O$$, er

$$ $ V_{maks}=\frac{1}{864}{O}^3$$$

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra og vel "Regresjonsanalyse" og polynom av grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finn at vi kan beskrive funksjonen $$ h$$ med uttrykket

$$ h\left(x\right)=-0,066x^3+1,15x^2-4,19x-8,95$$

Vi ser at grafen treffer godt med dei observerte verdiane. Merk at vasstanden var spesielt låg denne dagen sidan det ikkje vart målt verdiar over middelvatn.

Vi må finne ut når vasstanden var høgast og lågast, og når vasstanden steig og sokk raskast. Vi kopierer resultatet frå regresjonsanalysevindauget over til grafikkfeltet. Då slepp vi å skrive inn funksjonen på nytt i CAS-vindauget.

Vi får av linje 1, 2, 3 og 6 at vasstanden var lågast cirka klokka kvart over 2 på natta. Då var vasstanden 13,3 cm under middelvatn. Vasstanden var høgast rett før klokka halv 10 på formiddagen, og då var han 1,1 cm under middelvatn. Frå linje 3, 4, 5 og 7 har vi at grafen til $$ h$$ har eit vendepunkt for  $$ x=5,83$$, og vi får at vasstanden steig raskast rett før klokka 6 på morgonen. Då steig han med 2,6 cm per time. Dersom vi held oss til dei 12 første timane av døgnet, sokk vasstanden mest klokka 12, med 5,0 cm per time. Dersom vi går utanfor dei 12 timane, veit vi at tredjegradsfunksjonen blir brattare og brattare, og det er derfor ikkje realistisk å gå noko særleg utanfor dette tidsrommet.

Kommentar: Merk at sidan vi har rekna ut to verdiar for den dobbeltderiverte i linje 3 på kvar si side av nullpunktet til den dobbeltderiverte, har vi det vi treng for å avgjere om nullpunktet er $$ x$$-koordinaten til eit vendepunkt.

Vi ser at grafen er lågare enn botnpunktet dersom vi ser på tidsrommet etter klokka 13, men vi veit eigentleg ikkje kor lågt det går eller kor langt ut i tid modellen gjeld. Vi kan i alle fall seie at mellom midnatt og klokka 12 var den lågaste vasstanden minus 13,4 cm under middels vasstand, og det var klokka 02.15 på natta.

Vi må sjå der grafen har verdiar over $$ -10$$. Vi kan sjå av grafen at frå litt før klokka 05.00 til litt etter klokka 12.00 kan båten gå til kai ved Tregde. Det er òg nokre minutt rett etter midnatt det vil vere teoretisk mogleg å leggje til, men kanskje ikkje i praksis.

Vi sjekkar kva verdi vi får 24 timar etter midnatt.

1 døgn (24 timar) etter midnatt viser modellen eit avvik på -360 cm frå middel vasstand. Det er urealistisk, så modellen er ikkje gyldig fram i tid.

Vi ønsker å finne den tredjegradsfunksjonen som passar best til målingane. Korleis ser den generelle tredjegradsfunksjonen ut?

Den generelle tredjegradsfunksjonen kan skrivast som

$$ h\left(x\right)=a·x^3+b·x^2+c·x+d$$

Den eigendefinerte funksjonen må innehalde dei fire ubestemde konstantane i tillegg til $$ x$$. Funksjonen kan sjå slik ut:

def h(x,a,b,c,d):
return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d

Bruk desse tilnærmingane for å gjere berekningar av den deriverte og den dobbeltderiverte:

$$ \begin{array}{rcl}{h}^{\text{'}}\left(x\right) & \approx & \frac{h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\\ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right) & \approx & \frac{h^{\text{'}}\left(x+∆x\right)-h^{\text{'}}\left(x\right)}{∆x}\end{array}$$

I tilnærmingane kan du sette $$ ∆x=0,000 1$$.

Forslag til kode:

1        # tilnærming til den deriverte
2def dh(x,a,b,c,d):
3  return (h(x+0.0001,a,b,c,d) - h(x,a,b,c,d))/0.0001
4  
5        # tilnærming til den dobbeltderiverte
6def ddh(x,a,b,c,d):
7  return (dh(x+0.0001,a,b,c,d) - dh(x,a,b,c,d))/0.0001

Legg merke til at vi i tillegg til x må ha med dei fire konstantane a, b, c og d som parametrar i funksjonane siden vi ikkje veit kva dei er før sjølve regresjonen er utført.

Sjå òg koden i oppgåve 3.1.40 b) på sida Analyse av funksjonar – omgrep.

Forslag til kode:

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def h(x,a,b,c,d):
8  return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
9  
10        # tilnærming til den deriverte
11def dh(x,a,b,c,d):
12  return (h(x+0.0001,a,b,c,d) - h(x,a,b,c,d))/0.0001
13  
14        # tilnærming til den dobbeltderiverte
15def ddh(x,a,b,c,d):
16  return (dh(x+0.0001,a,b,c,d) - dh(x,a,b,c,d))/0.0001
17  
18        # legg inn måledataa i lister
19x_verdiar = [0,2,4,6,8,10,12]
20y_verdiar = [-9,-13,-12,-6,-3,-1,-7]
21
22        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
23konstantar,kovarians = curve_fit(h,x_verdiar,y_verdiar)
24
25        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
26a, b, c, d = konstantar
27
28        # lagar utskrift av funksjonen
29print(f"Funksjonen blir h(x) = {a:.3f}x^3 {b:+.2f}x^2 {c:+.2f}x {d:+.2f}.")
30
31        # finn og plottar ekstremalpunkta
32x_verdi = 0
33trinn = 0.01
34while x_verdi <= 12:
35  if dh(x_verdi,a,b,c,d)*dh(x_verdi+trinn,a,b,c,d) < 0:
36    nullpunkt = x_verdi + 0.5*trinn
37    if ddh(nullpunkt,a,b,c,d) > 0:     # dobbeltderiverttesten
38      punkttype = "Botnpunkt"
39    else:
40      punkttype = "Toppunkt"
41    print(f"Funksjonen har eit {punkttype.lower()} i ({nullpunkt:.2f}, {h(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
42    plt.scatter(nullpunkt, h(nullpunkt,a,b,c,d), label = punkttype)
43  x_verdi = x_verdi + trinn
44  
45        # finn vendepunkta, ev. om dei er terrassepunkt
46x_verdi = 0
47trinn = 0.001
48while x_verdi <= 12:
49  if ddh(x_verdi,a,b,c,d)*ddh(x_verdi+trinn,a,b,c,d) < 0:
50    nullpunkt = x_verdi + 0.5*trinn
51    if abs(dh(nullpunkt,a,b,c,d)) < trinn:
52      print(f"Funksjonen har terrassepunkt og vendepunkt i ({nullpunkt:.2f}, {h(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
53    else:
54      print(f"Funksjonen har vendepunkt i ({nullpunkt:.2f}, {h(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
55    plt.scatter(nullpunkt, h(nullpunkt,a,b,c,d), label = "Vendepunkt")        # teiknar vendepunktet
56    print(f"Då endrar vasstanden seg med {dh(nullpunkt,a,b,c,d):.2f} cm/time.")
57  x_verdi = x_verdi + trinn
58  
59        # finn når funksjonen er lik -10
60x_verdi = 0
61trinn = 0.0001
62while x_verdi <= 12:
63  if (h(x_verdi+trinn,a,b,c,d) + 10)*(h(x_verdi,a,b,c,d) + 10) < 0:
64    nullpunkt = x_verdi + 0.5*trinn
65    print(f"Vasstanden er på -10 når x = {nullpunkt:.2f}.")
66    plt.scatter(nullpunkt, h(nullpunkt,a,b,c,d), c=["black"])        # teiknar punktet
67  x_verdi = x_verdi + trinn
68  
69        # plottar dataa
70plt.plot(x_verdiar,y_verdiar,'.', label = "Målingar")
71
72        # plottar modellen
73x_array = np.linspace(min(x_verdiar),max(x_verdiar),300)
74y_array = h(x_array,a,b,c,d)
75plt.plot(x_array,y_array,"brown", label = "Modell")
76plt.grid(True)
77plt.legend(bbox_to_anchor=(0.4,1))
78plt.xlabel("Timar etter midnatt") # tittel på x-aksen
79plt.ylabel("Avvik i cm frå middel vasstand")
80plt.show()

Vi får denne utskrifta:

"Funksjonen blir h(x) = -0.066x^3 +1.15x^2 -4.19x -8.95.

Funksjonen har eit botnpunkt i (2.24, -13.28).

Funksjonen har eit toppunkt i (9.42, -1.08).

Funksjonen har vendepunkt i (5.83, -7.18).

Då endrar vasstanden seg med 2.55 cm/time.

Vasstanden er på -10 når x = 0.27.

Vasstanden er på -10 når x = 4.69."

Får du ein graf lik den i oppgåve b)?

Kommentarar til koden:

• I linje 29 har vi lagt til ein + i formateringskoden til utskrifta. Plussteiknet tvingar Python til å ta med forteiknet til variabelen anten det er pluss eller minus. På denne måten blir det alltid rett teikn mellom ledda i utskrifta av funksjonsuttrykket.

• I linje 41 har vi brukt metoden lower() for å få små bokstavar på punkttypen i setninga som skal skrivast ut. (Vi har sett stor forbokstav på verdiane til punkttype fordi vi vil ha det i forklaringa i grafbiletet.)

Vi legg punkta inn i reknearkdelen i GeoGebra, vel "Regresjonsanalyse" og observerer punkta i regresjonsanalysevindauget. Punkta ser ut omtrent som på figuren nedanfor. Då kan ein tredjegradsfunksjon passe.

I regresjonsanalyseverktøyet vel vi polynom med grad 3 som regresjonsmodell.

Vi finn at tredjegradsfunksjonen

$$ T\left(x\right)=-0,008x^3+0,261x^2-1,5x+18,3$$

passar godt som modell for temperaturutviklinga.

Vi observerer at modellen passar best fram til klokka 15. Så søkk den målte temperaturen litt raskare enn det modellen legg opp til.

Modellen vi fann, beskriv temperaturen dei første 24 timane etter midnatt på ein god måte. Utover 24 timar er modellen ubrukeleg. Etter 24 timar vil temperaturen ifølgje modellen stadig gå nedover.

Vi må leite etter eventuelle vendepunkt på grafen til $$ T$$. I tillegg må vi sjekke endepunkta på grafen.

I linje 3 og 4 får vi stadfesta at løysinga  $$ x=10,4$$  er $$ x$$-koordinaten til eit vendepunkt der den deriverte har eit toppunkt. Det betyr at etter modellen steig temperaturen mest rett før klokka halv elleve på formiddagen den dagen, og då steig han med 1,2°C per time.

Sidan det ikkje er fleire vendepunkt på grafen til $$ T$$, må temperaturen ha sokke raskast anten 0 eller 24 timar etter midnatt. Linje 5 gir oss at temperaturen sokk raskast 24 timar etter midnatt, og då sokk temperaturen med minus 3,4°C per time.

Vi tek utgangspunkt i programmet i oppgåve FM-31.

Forslag til kode:

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def T(x,a,b,c,d):
8  return a*x**3 + b*x**2 + c*x + d
9  
10        # tilnærming til den deriverte
11def dT(x,a,b,c,d):
12  return (T(x+0.0001,a,b,c,d) - T(x,a,b,c,d))/0.0001
13  
14        # tilnærming til den dobbeltderiverte
15def ddT(x,a,b,c,d):
16  return (dT(x+0.0001,a,b,c,d) - dT(x,a,b,c,d))/0.0001
17  
18        # legg inn måledataa i lister
19x_verdiar = [0,1,4,7,9,10,12,13,15,17,20,22,24]
20y_verdiar = [19,17,15,17,19,21,25,26,27,26,24,22,18]
21
22        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
23konstantar,kovarians = curve_fit(T,x_verdiar,y_verdiar)
24
25        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
26a, b, c, d = konstantar
27
28        # lagar utskrift av funksjonen
29print(f"Funksjonen blir T(x) = {a:.3f}x^3 {b:+.2f}x^2 {c:+.2f}x {d:+.2f}.")
30
31        # finn vendepunkta, ev. om dei er terrassepunkt
32x_verdi = 0
33trinn = 0.001
34while x_verdi <= 12:
35  if ddT(x_verdi,a,b,c,d)*ddT(x_verdi+trinn,a,b,c,d) < 0:
36    nullpunkt = x_verdi + 0.5*trinn
37    if abs(dT(nullpunkt,a,b,c,d)) < trinn:
38      print(f"Funksjonen har terrassepunkt og vendepunkt i ({nullpunkt:.2f}, {T(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
39    else:
40      print(f"Funksjonen har vendepunkt i ({nullpunkt:.2f}, {T(nullpunkt,a,b,c,d):.2f}).")
41    plt.scatter(nullpunkt, T(nullpunkt,a,b,c,d), label = "Vendepunkt")        # teiknar vendepunktet
42    print(f"Då endra temperaturen seg med {dT(nullpunkt,a,b,c,d):.2f} gradar/time.")
43  x_verdi = x_verdi + trinn
44  
45        # finn temperaturendringa i endepunkta
46print(f"Kl. 00.00 endra temperaturen seg med {dT(0,a,b,c,d):.2f} gradar/time.")
47print(f"Kl. 24.00 endra temperaturen seg med {dT(24,a,b,c,d):.2f} gradar/time.")
48
49        # plottar dataa
50plt.plot(x_verdiar,y_verdiar,'.', label = "Målingar")
51
52        # plottar modellen
53x_array = np.linspace(min(x_verdiar),max(x_verdiar),300)
54y_array = T(x_array,a,b,c,d)
55plt.plot(x_array,y_array,"brown", label = "Modell")
56plt.grid(True)
57plt.legend(bbox_to_anchor=(0.4,1))
58plt.xlabel("Timar etter midnatt") # Tittel på x-aksen
59plt.ylabel("Temperatur i °C")
60plt.show()

Programmet gir denne utskrifta:

"Funksjonen blir T(x) = -0.008x^3 +0.26x^2 -1.50x +18.31.

Funksjonen har vendepunkt i (10.39, 21.48).

Då endra temperaturen seg med 1.21 gradar/time.

Kl. 00.00 endra temperaturen seg med -1.50 gradar/time.

Kl. 24.00 endra temperaturen seg med -3.43 gradar/time."

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei og vel verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Eksponentiell 2" (vi kan òg velje "Eksponentiell"). Så kopierer vi grafen og punkta til grafikkfeltet.

Den eksponentielle funksjonen som passar best med punkta er

$$ T\left(x\right)=3,51 e^{0,079x}$$

Vi ser at grafen passar godt til punkta.

Modellen vil gi ein høgare og høgare temperatur i kjøleskapet. I verkelegheita vil temperaturen i kjøleskapet nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår er nok ikkje gyldig noko særleg lenger enn cirka 1 døgn etter straumbrotet.

I ein logistisk modell går funksjonen mot ein fast verdi i staden for å vekse over alle grenser. Det passar betre med at temperaturen i kjøleskapet vil nærme seg meir og meir romtemperaturen sidan tida går.

Vi skriv tala inn nedanfor dei tala vi alt har i reknearkdelen i GeoGebra, markerer alle tala og vel verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Logistisk". Så kopierer vi grafen og punkta til grafikkfeltet.

Den logistiske funksjonen som passar best med alle punkta, er

$$ T_L\left(x\right)=\frac{24,7}{1+9,61 e^{-0,15x}}$$

Vi ser at grafen passar relativt godt med punkta.

Brøken $$ $ \frac{24,7}{1+9,61 e^{-0,15x}}$$$ vil nærme seg 24,7 når $$ x$$ blir stor. I verkelegheita vil temperaturen i kjøleskapet nærme seg temperaturen i rommet der kjøleskapet står. Modellen vår kan verke rimeleg dersom romtemperaturen ligg jamt på 24,7°C.

Vi må leite etter eventuelle vendepunkt på grafen til $$ T_L$$.

I linje 3 og 4 kontrollerer vi at løysinga i linje 2 er $$ x$$-koordinaten til eit vendepunkt. Vi får samtidig at grafen til $$ T_L$$ går frå å vende den hole sida opp til å vende den hole sida ned ved vendepunktet slik at vi veit at den deriverte har eit toppunkt her. Vi får at temperaturen steig raskast etter omtrent 15 timar, og då steig han med 9,5°C per time.

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei og vel verktøyet "Regresjonsanalyse". Det ser ut som kurva gjennom punkta stig meir og meir. Her vil det vere naturleg å prøve med eksponentiell regresjon. Vi vel modellen "Eksponentiell 2" og ser at han passar ganske godt med punkta.

Den eksponentielle funksjonen som passar best med punkta er

$$ f\left(x\right)=11 e^{0,32x}$$

Det vil vere naturleg at veksten til solsikka vil minke og etter kvart stoppe heilt opp. Då kan vi ikkje bruke det same funksjonsuttrykket, sidan eksponentialfunksjonen vil vekse over alle grenser når $$ x$$ blir stor.

Vi skriv dei nye tala inn under tala frå oppgåve a) i reknearkdelen i GeoGebra, og så vel vi "Regresjonsanalyse". Sidan veksten til solsikka stoppar opp, prøver vi med logistisk modell.

Vi ser at ein logistisk modell passar godt med punkta. Den logistiske modellen som passar best med punkta, er

$$ g\left(x\right)=\frac{158,9}{1+37,53 e^{-0,62x}}$$

I regresjonsanalyseverktøyet vel vi "Kopier til grafikkfeltet".

Her betyr talet i teljaren den maksimale høgda solsikka får etter modellen, som er 159 cm.

Denne modellen treffer ikkje like godt som modellen i a) dei første 8 vekene. Etter veke 8, når veksten flatar ut, passar modellen i c) bra dei neste 4 vekene, men det er uvisst om solsikka blir så høg som 159 cm. Totalt sett kan vi vel likevel seie at den logistiske modellen passar best.

Solsikka vil etter kvart visne, så modellen vil ikkje vere gyldig veldig langt fram i tid.

Vi må leite etter eventuelle vendepunkt på grafen til $$ g$$.

I linje 3 og 4 kontrollerer vi at løysinga i linje 2 er $$ x$$-koordinaten til eit vendepunkt. Vi får samtidig at grafen til $$ g$$ går frå å vende den hole sida opp til å vende den hole sida ned ved vendepunktet, slik at vi veit at den deriverte har eit toppunkt her. Vi får at solsikka vaks raskast etter omtrent 6 veker, og då vaks ho med 25 cm per veke.

Folkehelseinstituttet. (2024, 4. januar). Ukerapporter om covid-19, influensa og andre luftveisinfeksjoner. Henta 9. januar 2024 frå https://www.fhi.no/publ/statusrapporter/luftveisinfeksjoner/#alle-ukerapporter-2020-2023