Modellering med kjend funksjon
Bedrifter som produserer og sel varer ønskjer ofte funksjonar som beskriv kostnader, inntekter og overskot ved produksjon og sal av eit visst tal på einingar.
Vi bruker gjerne funksjonar med namn , og som modellar for å beskrive høvesvis kostnader, inntekter og overskot.
Overskot ved produksjon og sal av treningsapparat
Ved ei bedrift blir det produsert treningsapparat. Funksjonane og gitt ved
kan brukast som modellar for kostnader og inntekter ved produksjon og sal av denne vara. og er høvesvis inntekter og kostnader gitt i kroner ved produksjon og sal av treningsapparat per veke.
Vi ønskjer å finne ut kor mange einingar som må produserast for å få størst mogleg overskot. Vi ønskjer òg å vite kva overskotet då blir.
Overskot er inntekter minus kostnader:
For å berekne når overskotet blir størst mogleg, finn vi ekstremalpunktet til overskotsfunksjonen.
Overskotsfunksjonen er ein andregradsfunksjon. Andregradsleddet er negativt. Grafen til har då eit toppunkt. Den deriverte vil vere lik null i dette toppunktet.
Vi deriverer og får
Vi set den deriverte funksjonen lik null:
Ein produksjon på 65 treningsapparat per veke gir størst mogleg overskot:
Det maksimale overskotet blir på 10 125 kroner per veke.
Vi teiknar grafen til overskotsfunksjonen
Toppunktet på grafen til
Legg òg merke til at skjeringspunkta mellom grafane til
Oppgåve
Bruk dobbeltderiverttesten til å kontrollere at overskotsfunksjonen har eit toppunkt.
Her skal vi analysere veksten til eit morelltre med utgangspunkt i ein funksjon som er ein matematisk modell for høgda til treet.
Jacob planta eit morelltre i 2006. Treet var 1 meter høgt då han planta det.
Funksjonen
kan brukast som ein modell for å berekne høgda til treet dei neste 20 åra.
Vi ønskjer å finne ut kva år treet får den maksimale veksten sin, og kor stor veksten er då.
Vi vil finne dette både grafisk og ved rekning.
Grafisk løysing
For å få betre overseikt har vi teikna grafane til
Grafen til
Grafen til
Vi ser òg grafisk at
Alle dei tre kurvene kan altså fortelje oss når treet får den maksimale veksten sin.
Når den dobbeltderiverte funksjonen er positiv, veks den deriverte funksjonen, og sjølve vekstkurva blir brattare og brattare.
Når den dobbeltderiverte funksjonen er negativ, minkar den deriverte funksjonen, og sjølve vekstkurva flatar ut.
Algebraisk løysing
Vi startar med å derivere
Så set vi
Vi testar
Vi teiknar forteiknslinja til den andrederiverte.
Forteiknslinja til
Vi kan òg finne kor stor veksten var etter 10 år:
Det betyr at veksten er 0,9 meter per år etter 10 år.
Løys oppgåva med CAS.
Samanhengen mellom strekning, fart og akselerasjon kan beskrivast ved hjelp av derivasjon.
Når vi rører på oss, til dømes ved å gå, springe eller køyre bil, seier vi at vi flyttar oss ei strekning. Vi bruker ofte bokstaven
Farten eller hastigheita er kor raskt vi flyttar oss, eller kor fort ei tilbakelagd strekning endrar seg. Farten er altså lik den deriverte til strekninga. Vi bruker gjerne bokstaven
Thomas skal køyre ein tur med bilen sin. Strekninga han tilbakelegg i meter,
der
Vi vil finne tilbakelagd strekning, fart og akselerasjon etter 10 sekund:
Akselerasjonen er null etter 10 sekund. Akselerasjonsfunksjonen er lineær. Då viser
at farten har den maksimale verdien sin etter 10 sekund.
viser at Thomas nådde den maksimale farten på 11 m/s etter ei strekning på 100 m.