Eksponentialfunksjonen som modell. Regresjon

Vi skriv tala inn i reknearkdelen i GeoGebra, markerer dei, vel verktøyet "Regresjonsanalyse" og modellen "Eksponentiell".

Den eksponentielle funksjonen som passar best til punkta, er

$$ V\left(x\right)=322 237·0,{897}^x$$

Vi veit at ein enkel eksponentialfunksjon ikkje har nokon vendepunkt. Derfor vil veksten vere størst og minst i eventuelle endepunkt.

Vi kopierer funksjonen frå regresjonsanalysevindauget og til grafikkfeltet og opnar CAS-vindauget.

Linje 2 gir at grafen til $$ V$$ alltid søkk. Linje 1 gir at grafen alltid vender den hole sida opp. Det betyr at den negative veksten er størst då bilen vart kjøpt, det vil seie når $$ x=0$$.

Bilen sokk mest i verdi då han var heilt ny, og då sokk verdien med 35 000 kroner per år.

Verdiendringa på bilen det første året er lik

Etter modellen (funksjonen) sokk bilen i verdi med 33 223 kroner. Dette er litt mindre enn svaret i den førre deloppgåva. Årsaka til det er at svaret i den førre deloppgåva seier kor mykje bilen ville ha sokke i verdi dersom han skulle søkke like mykje heile det første året som i starten, då bilen var ny. Verdien søkk gradvis mindre og mindre heile tida slik at verditapet det første året ikkje blir så stort som svaret i den førre oppgåva skulle tyde på.

Hugs at svaret i den førre oppgåva eigentleg er den momentane vekstfarten til funksjonen for $$ x=0$$.

Dette kan vi finne ut ved å løyse likninga $$ V\left(x\right)=\frac{1}{2}V\left(0\right)$$.

Verdien av bilen var halvert etter i overkant av 6 år.

Funksjonsuttrykket til eksponentialfunksjonen $$ V\left(x\right)$$ viser at vi har ein årleg vekstfaktor på 0,8969. Den årlege prosentvise nedgangen finn vi ved reknestykket nedanfor.

Alternativt kan vi løyse likninga

$$ 1-\frac{x}{100}=0,896 9$$

Ved å gjere tilsvarande som i oppgåve a) får vi at

$$ V_2\left(x\right)=322 237 e^{0.1088x}$$

Talet framom potensen er likt for dei to modellane. Vi kan prøve å forme om potensen i $$ V_2\left(x\right)$$ ved å bruke potensreglar.

$$ e^{-0,1088x}={\left(e^{-0,1088}\right)}^x=0,{897}^x$$

Dette er det same uttrykket som i $$ V\left(x\right)$$, så det er den same funksjonen, berre skriven på to ulike måtar.

Forslag til kode:

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(x,a,b):
8  return a*b**x
9  
10        # legg inn måledataa i lister
11x_verdiar = [0,5,9]
12y_verdiar = [320000,190000,120000]
13
14        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
15konstantar,kovarians = curve_fit(modell,x_verdiar,y_verdiar)
16
17        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
18a, b = konstantar
19
20        # a) lagar utskrift av funksjonen
21print(f"a) Funksjonen blir V(x) = {a:.0f}·{b:.3f}^x.")
22
23        # b) reknar ut den deriverte for x=0
24derivert_0 = abs(modell(0.00001,a,b)-modell(0,a,b))/0.00001
25print(f"b) Bilen sokk mest i verdi i starten av 2012, og då sokk han med {derivert_0:.0f} kroner per år.")
26
27        # c) reknar ut verdiendringa frå 2012 til 2013
28verdiendring = modell(1,a,b) - modell(0,a,b)
29print(f"c) Verdien på bilen endra seg med {verdiendring:.0f} kroner frå 2012 til 2013.")
30
31        # d) reknar ut når bilen er halvert i verdi
32halvverdi = 320000/2
33x_verdi = 0
34while modell(x_verdi,a,b) > halvverdi:
35  x_verdi = x_verdi + 0.1
36print(f"d) Bilen er halvert i verdi {x_verdi:.1f} år etter 2012.")
37
38        # e) reknar ut den årlege, gjennomsnittlege prosentvise nedgangen
39print(f"e) Den årlege prosentvise nedgangen er på {(1-b)*100:.1f} %.")

Vi får denne utskrifta:

a) Funksjonen blir V(x) = 320641·0.898^x.

b) Bilen sokk mest i verdi i starten av 2012, og då sokk han med 34396 kroner per år.

c) Verdien på bilen endra seg med -32615 kroner frå 2012 til 2013.

d) Bilen er halvert i verdi 6.5 år etter 2012.

e) Den årlege prosentvise nedgangen er på 10.2 %.

Vi skriv tala frå tabellen inn i reknearket. 7. april betyr då at $$ x=7$$. Vi markerer tala, vel regresjonsanalyseverktøyet og vel modellen eksponentiell.

Den eksponentielle funksjonen som passar best til punkta, er

$$ B\left(x\right)=415 967 ·1,{019}^x$$

Vi må rekne ut skilnaden i verdi mellom 30. april og 1. april.

Dette er det same som den deriverte når $$ x=7$$.

Rekn ut kor mange dagar det er igjen av året etter 1. april.

Eit viktig stikkord her er vekstfaktor.

b) Frå linje 1 får vi at vi etter modellen skulle ein tene 300 405 kroner på å kjøpe ein bitcoin 1. april og selje han 30. april.

c) Frå linje 2 får vi at etter modellen steig verdien på 1 bitcoin med 8 748 kroner den 7. april.

d) Frå linje 3 får vi at frå og med 1. april til og med 31. desember er det 275 dagar. Frå linje 4 får vi at verdien av ein bitcoin 31. desember er omtrent 67 millionar kroner.

e) Frå linje 5 får vi at i gjennomsnitt steig verdien på ein bitcoin med 242 938 kroner per dag. Dette er veldig mykje meir enn kor mykje verdien steig per dag 7. april (oppgåve c)). Årsaka til det er at veksten i kroner blir større og større utover året sidan han er eksponentiell.

f) Vekstfaktoren i funksjonen er 1,019. Vekstfaktoren er frå dag til dag. Dette betyr at den prosentvise veksten per dag er på 1,9 prosent.

g) I linje 6 reknar vi ut den totale vekstfaktoren for 30 dagar i april. Frå linje 7 får vi så at dette svarer til ei månadsrente på 76 prosent.

h) Frå linje 8 og 9 får vi tilsvarande at den årlege renta blir på ufattelege 96 189 prosent!

i) Kommentar: Dei fire tala som var utgangspunkt for modellen, vart valde ut ifrå ein kort periode i april 2021 då veksten var høg. 25. april det same året var verdien på ein bitcoin nede i 407 504 kroner ...

Forslag til kode:

1        # importerer nødvendige bibliotek
2from scipy.optimize import curve_fit
3import numpy as np
4import matplotlib.pyplot as plt
5
6        # lagar funksjonen som beskriv modellen
7def modell(x,a,b):
8  return a*b**x
9  
10        # legg inn måledataa i lister
11x_verdiar = [7,9,12,13]
12y_verdiar = [474000,493000,508000,538000]
13
14        # bruker metoden curve_fit og legg resultata i to lister
15konstantar, kovarians = curve_fit(modell,x_verdiar,y_verdiar)
16
17        # hentar ut konstantane frå lista konstantar
18a, b = konstantar
19
20        # a) lagar utskrift av funksjonen
21print(f"a) Funksjonen blir B(x) = {a:.0f}·{b:.3f}^x.")
22
23        # b) reknar ut verdistigninga frå 1. april til 30. april.
24verdiendring = modell(30,a,b) - modell(1,a,b)
25print(f"b) Du tente {verdiendring:.0f} kroner på denne handelen.")
26
27        # c) reknar ut verdistigninga per dag 7. april
28derivert = (modell(7 + 0.0001,a,b) - modell(7,a,b))/0.0001
29print(f"c) Verdien på 1 bitcoin endra seg med {derivert:.2f} kroner per dag 7. april.")

Vi får denne utskrifta:

a) Funksjonen blir B(x) = 415256·1.019^x.

b) Du tente 303623 kroner på denne handelen.

c) Verdien på 1 bitcoin endra seg med 8826.61 kroner per dag 7. april.