Funksjonar, likningar og ulikskapar av andre grad

Med $k=4$ får vi $f\left(x\right)=x^2-3x-4$. Vi løyser med andregradsformelen:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-3x-4 & =& 0\\ x & =& \frac{-\left(-3\right)\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-4\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}\\ & =& \frac{3\pm 5}{2}\\ x & =& \frac{3+5}{2} \mathrm{eller} x=\frac{3-5}{2}\\ x & =& 4 \mathrm{eller} x=-1\end{array}$

Dersom $x=1$ skal vere eit nullpunkt, betyr det at $f\left(1\right)=0$. Vi set inn 1 for $x$ i funksjonen og set han lik 0.

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right) & =& 0\\ 1^2-3·1-k & =& 0\\ 1-3-k & =& 0\\ -2 & =& k\end{array}$

Ein andregradsfunksjon endrar forteikn berre i nullpunkta. (Tenk over kvifor det er sånn!) Derfor må vi finne ut kva $k$ må vere for at nullpunkta skal vere 0 og 3.

Vi veit at eit andregradsuttrykk kan faktoriserast ved hjelp av nullpunkta ved å skrive $\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ der $x_1$ og $x_2$ er nullpunkta til den tilsvarande andregradsfunksjonen. Vi prøver dette her.

$\begin{array}{rcl}\left(x-0\right)\left(x-3\right) & =& x^2-3x-k\\ x\left(x-3\right) & =& x^2-3x-k\\ x^2-3x & =& x^2-3x-k\\ 0 & =& -k\\ k & =& 0\end{array}$

Alternativ 1 – direkte faktorisering

Vi lagar eit fullstendig kvadrat og følgjer måten som er brukt på sida Faktorisering av andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrat der vi bestemmer kva leddet $b$ i kvadratsetninga skal vere.

$x^2-3x+b^2-b^2-k$

Vi får, dersom vi samanliknar med andre kvadratsetning ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$, at

$\begin{array}{rcl}-2b & =& -3\\ b & =& \frac{3}{2}\end{array}$

Dei tre første ledda i $x^2-3x+b^2-b^2-k$ kan då skrivast som

$x^2-3x+b^2=x^2-3x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2={\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2$

og er eit fullstendig kvadrat. Det betyr at summen av dei to siste ledda må vere lik null for at heile uttrykket skal vere eit fullstendig kvadrat.

$\begin{array}{rcl}-b^2-k & =& 0\\ -{\left(\frac{3}{2}\right)}^2 & =& k\\ -\frac{9}{4} & =& k\\ & & \end{array}$

Alternativ 2 – andregradsformelen

I eit fullstendig kvadrat har vi berre éi løysing på likninga $f\left(x\right)=0$. Det betyr at rotteiknet i andregradsformelen må vere null.

$\begin{array}{rcl}\sqrt{b^2-4ac} & =& 0\\ \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·1·\left(-k\right)} & =& 0\\ \sqrt{9+4k} & =& 0\\ 9+4k & =& 0\\ 4k & =& -9\\ k & =& -\frac{9}{4}\end{array}$

I overgangen mellom den tredje og den fjerde linja har vi brukt at dersom kvadratrota av noko skal vere null, må dette "noko" vere null.

Dersom funksjonen skal gå gjennom punktet (1, 3), må vi ha at

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right)& =& 3\\ 1^2-3·1-k & =& 3\\ 1-3-k & =& 3\\ -k & =& 3+3-1\\ -k & =& 5\\ k & =& -5\end{array}$

Vi teiknar punkta inn i GeoGebra og bruker verktøyet "Linje mellom to punkt".

Vi får at $f\left(x\right)=1,5x$.

(Verktøyet for rett linje lagar eigentleg ikkje ein funksjon i GeoGebra, men det bryr vi oss ikkje om no.)

Oppgåva kan løysast på fleire måtar. Éin måte er å bruke regresjon, men då blir det kravd eitt punkt til i tillegg til $A$ og $B$.

Kvifor trur du regresjonsverktøyet krev eitt punkt til?

Vi treng eitt punkt til og vel til dømes punktet $C(-2, 3)$.

Vi bruker kommandoen $$ \mathrm{g(x)\; =\; RegPoly(\{A,\; B,\; C\},\; 2)}$$.

Med valet vårt av punkt $C$, får vi funksjonen $g\left(x\right)=0,25x^2+2$.

Speler rekkjefølgja på punkta i kommandoen noka rolle?

Her slepp vi å rekne sidan vi veit at løysinga er punkta $A$ og $B$. Løysinga blir altså

$x=2$ eller $x=4$

Med valet vårt av punkt $C$ ser vi at $f$ ligg over $g$ i området mellom punkta $A$ og $B$. Løysinga på ulikskapen blir derfor

$x\in \langle 2, 4\rangle$

Her må vi finne ein andregradsfunksjon der grafen krummar den andre vegen enn i den førre oppgåva. Då må det tredje punktet vi treng (vi kallar det $D$) for å få gjort regresjonen, liggje ein heilt annan stad enn punkt $C$, men kvar?

Vi får dette til ved å plassere eit tredje punkt $D$ slik at det kjem til høgre for $A$ og $B$ (og motsett dersom du plasserte punkt $C$ til høgre for $A$ og $B$ til å byrje med). Regresjonskommandoen her blir $$ \mathrm{g\_2(x)\; =\; RegPoly(\{A,\; B,\; D\},\; 2)}$$.

Med valet vårt av punkt $D$ får vi funksjonen

$g_2\left(x\right)=-0,75x^2+6x-6$

Ei rett linje er eintydig bestemd av to punkt på linja. Altså finst det berre éin mogleg funksjon her. For andregradsfunksjonen finst det uendeleg mange løysingar sidan vi kan velje det tredje punktet (nesten) kvar som helst.

I tillegg til at $C$ ikkje kan samanfalle med $A$ eller $B$, kan heller ikkje $C$ ha den same $x$-koordinaten som $A$ eller $B$. (Kva er grunnen?)

For kvar grad høgare funksjonen blir, treng vi eit ekstra punkt til regresjonskommandoen. Vi treng eitt meir punkt enn graden på polynomfunksjonen, og når desse punkta kan veljast fritt, får vi uendeleg mange tredje- og fjerdegradsfunksjonar som går gjennom dei to punkta $A$ og $B$.