Oppgåvene nedanfor skal løysast utan bruk av hjelpemiddel. Du kan òg prøve å løyse oppgåvene med CAS.
1.10.20
Løys ulikskapane ved rekning utan hjelpemiddel.
a)
Vis fasit
Teljaren er null når , det vil seie når .
Nemnaren er null når , det vil seie når .
Det er berre for desse verdiane av at brøken kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for -verdiar i intervalla , og .
For får vi . Uttrykket er positivt.
For får vi . Uttrykket er negativt.
For får vi . Uttrykket er positivt.
Vi kan no setje opp forteiknskjema for brøken .
NB: Legg merke til at brøken ikkje er definert for .
Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av det stemde at brøken er mindre enn null. Det er når
Løysing med CAS:
b) x+1x-1>2
Vis fasit
Først må vi samle alt i éin brøk for å få null på høgre side.
x+1x-1-2>0x+1x-1-2x-1x-1>0x+1-2x+2x-1>0-x+3x-1>0
Teljaren er null når-x+3=0, det vil seie når x=3.
Nemnaren er null når x-1=0, det vil seie når x=1.
Det er berre for desse verdiane av x at brøken kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for x-verdiar i intervalla ⟨←,1⟩, ⟨1,3⟩ og ⟨3,→⟩.
For x=0 får vi 0+30-1=3-1. Uttrykket er negativt.
For x=2 får vi -2+32-1=11. Uttrykket er positivt.
For x=4 får vi -4+34-1=-13. Uttrykket er negativt.
Vi kan no setje opp forteiknskjema for brøken -x+3x-1.
NB: Legg merke til at brøken -x+3x-1 ikkje er definert for x=1.
Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at
x+1x-1>2. Det er når -x+3x-1>0, og det er når
x∈⟨1,3⟩
Løysing med CAS:
x+1x-1>21Løys:1<x<3
c) 2x-2x-1≤1
Vis fasit
Først må vi samle alt i éin brøk for å få null på høgre side.
2x-2x-1-1≤02x-2x-1-x-1x-1≤02x-2-x+1x-1≤0x-1x-1≤0
Både teljaren og nemnaren er null når x-1=0, det vil seie når x=1.
Det er berre for denne verdien av x at brøken kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for x-verdiar i intervalla ⟨←,1⟩ og ⟨1,→⟩.
For x=0 får vi 0-10-1=-1-1. Uttrykket er positivt.
For x=2 får vi 2-12-1=11. Uttrykket er positivt.
Vi kan no setje opp forteiknskjema for brøken x-1x-1.
NB: Legg merke til at brøken x-1x-1 ikkje er definert for x=1.
Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at 2x-2x-1≤1. Det er når x-1x-1≤0, og det skjer aldri.
Ulikskapen har inga løysing.
Løysing med CAS:
2x-2x-1≤11Løys:
Kommentar: Dette går det an å finne ut utan å teikne forteiknskjema. Sidan det står det same i teljar og nemnar, kan brøken aldri få ein annan verdi enn 1, og 1 er ikkje mindre enn null.
d) 2x-2x-1≥2
Vis fasit
Først må vi samle alt i éin brøk for å få null på høgre side.
2x-2x-1-2≥02x-2x-1-2x-1x-1≥02x-2-2x+2x-1≥00x-1≥0
Teljaren er alltid null.
Nemnaren er null når x-1=0, det vil seie når x=1.
Brøken 0x-1 er ikkje definert for x=1. Elles har han verdien null, og null er alltid større eller lik null. Ulikskapen stemmer derfor for alle verdiar av x unnateke for x=1. Vi får
L=ℝ\1
Løysing med CAS:
2x-2x-1≥21Løys:x=x
I skrivande stund ser det ikkje ut som om GeoGebra handterer denne spesielle ulikskapen særleg godt.
1.10.21
Løys ulikskapane ved rekning utan hjelpemiddel.
a) x-1x+2<x+1
Vis fasit
Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side. Så finn vi nullpunkta til teljaren og nemnaren.
Vi må sjå når teljaren er null. Vi kan til dømes prøve å faktorisere ved å danne eit fullstendig kvadrat. Vi får
-x2-2x-3=-x2+2x+3=-x2+2x+1+3-1=-x+12+2
Det som står inne i parentesen er alltid positivt. Teljaren er derfor alltid negativ.
Nemnaren er null når x+2=0, det vil seie når x=-2.
Det er berre for denne verdien av x at brøken kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for x-verdiar i intervalla ⟨←,-2⟩ og ⟨-2,→⟩. Vi skriv berre (–) for teljaren sidan han alltid er negativ.
For x=-3 får vi --3+2=--1. Uttrykket er positivt.
For x=0 får vi -0+2=-2. Uttrykket er negativt.
Vi kan no setje opp forteiknskjema for brøken -x2-2x-3x+2.
NB: Legg merke til at brøken -x2-2x-3x+2 ikkje er definert for x=-2.
Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av x det stemde at x-1x+2<x+1. Det er når brøken -x2-2x-3x+2 er mindre enn null, og det er når
x∈⟨-2,→⟩
Løysing med CAS:
x-1x+2<x+11Løys:x>-2
b) 2x-12+x<2x-1
Vis fasit
Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side. Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.
Teljaren er null når x+1=0 og når x-12=0, det vil seie når
x=-1 og når x=12.
Nemnaren er null når 2+x=0, det vil seie når x=-2.
Det er berre for desse verdiane av x at uttrykket kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for x-verdiar i intervalla ⟨←,-2⟩, ⟨-2,-1⟩, ⟨-1,12⟩ og ⟨12,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tek stikkprøvene.
For x=-3 får vi -2-3+1-3-122+-3=-·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-32 får vi -2-32+1-32-122+-32=-·-·-+. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi -20+10-122+0=-·+·-+. Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi -21+11-122+1=-·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan då setje opp forteiknskjema for brøken -2x+1x-122+x:
NB: Legg merke til at brøken -2x+1x-122+x ikkje er definert for x=-2.
2x-12+x<2x-1 når x∈⟨-2,-1⟩∪⟨12,→⟩.
Løysing med CAS:
2x-12+x<2x-11Løys:-2<x<-1,x>12
c) 2x-13x≥x+2
Vis fasit
Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side. Vi finn så nullpunkta til uttrykket på venstre side.
Teljaren er null når x+13=0 og når x+1=0, det vil seie når
x=-13 og når x=-1
Nemnaren er null når 3x=0, det vil seie når x=0.
Det er berre for desse verdiane av x at uttrykket kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for x-verdiar i intervalla ⟨←,-1⟩, ⟨-1,-13⟩, ⟨-13,0⟩ og ⟨0,→⟩.
Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tek stikkprøvene.
For x=-2 får vi -3-2+13-2+13·-2=-·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-12 får vi -3-12+13-12+13·-12=-·-·+-. Uttrykket er negativt.
For x=-14 får vi -3-14+13-14+13·-14=-·+·+-. Uttrykket er positivt.
For x=1 får vi -31+131+13·1=-·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan då setje opp forteiknskjema for brøken -3x+13x+13x:
NB: Legg merke til at brøken -3x+13x+13x ikkje er definert for x=0
2x-13x≥x+2 når x∈⟨←,-1]∪[-13,0⟩.
Løysing med CAS:
2x-13x≥x+21Løys:x≤-1,-13≤x<0
1.10.22 (Ikkje for 1T-Y)
a) Vis at x=1 er ei løysing av likninga 2x3+4x2-2x-4x+1=0.
Vis fasit
Vi set x=1 inn i teljaren og får
2·13+4·12-2·1-4=2+4-2-4=0
Brøken blir dermed lik null for x=1.
b) Løys likninga i a) ved rekning utan hjelpemiddel.
Vis fasit
Vi faktoriserer teljaren. x-1 er ein faktor i teljaren, og vi utfører først polynomdivisjonen.
c) Løys ulikskapen 2x3+4x2-2x-4x+1>0 ved rekning utan hjelpemiddel.
Vis fasit
Vi bruker det vi har funne i b).
Teljaren er null for x=-2, x=-1 og x=1.
Nemnaren er null for x=-1.
Med uttrykket på venstre side på faktorisert form blir ulikskapen
2x+2x+1x-1x+1>0
Det er berre for desse verdiane av x der teljar eller nemnar er null at uttrykket kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for x-verdiar i intervalla ⟨←,-2⟩, ⟨-2,-1⟩, ⟨-1,1⟩ og ⟨1,→⟩ og bruker det faktoriserte uttrykket i utrekninga.
For x=-3 får vi 2-3+2-3+1-3-1-3+1=-·-·--. Uttrykket er positivt. (Kvifor tok vi ikkje med 2-talet i forteiknvurderinga?)
For x=-32 får vi 2-32+2-32+1-32-1-32+1=+·-·--. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi 20+20+10-10+1=+·+·-+. Uttrykket er negativt.
For x=2 får vi 22+22+12-12+1=+·+·++. Uttrykket er positivt.
Vi kan då setje opp forteiknskjema for brøken 2x+2x+1x-1x+1.
Legg merke til at brøken 2x+2x+1x-1x+1 ikkje er definert for x=-1.
Vi får til slutt
2x3+4x2-2x-4x+1>0 når x∈⟨←,-2⟩∪⟨1,→⟩.
Løysing med CAS:
2x3+4x2-2x-4x+1>01Løys:x<-2,x>1
d) Løys ulikskapen -3x3-18x2-11x+402x+2≥2 ved rekning utan hjelpemiddel.
Tilleggsopplysningar
Når uliskapen er ordna slik at det står null på høgre side, skal uttrykket på venstre side vere null når x=-3.
Vis fasit
Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får 0 på høgre side. Så finn vi nullpunkta til teljaren og nemnaren.
Nemnaren er null for 2x+2=0, det vil seie for x=-1.
Dersom vi bruker faktorisert form på teljaren i uttrykket i den ordna ulikskapen over, får vi
-3x+4x+3x-12x+2≥0
Det er berre for desse verdiane av x der teljar eller nemnar er null at uttrykket kan skifte forteikn. Vi tek stikkprøver for x-verdiar i intervalla ⟨←,-4⟩, ⟨-4,-3⟩, ⟨-3,-1⟩, ⟨-1,1⟩ og ⟨1,→⟩ og bruker det faktoriserte uttrykket i utrekninga.
For x=-5 får vi -3-5+4-5+3-5-12·-5+2=-·-·-·--. Uttrykket er negativt.
For x=-3,5 får vi -3-3,5+4-3,5+3-3,5-12·-3,5+2=-·+·-·--. Uttrykket er positivt.
For x=-1,5 får vi -3-1,5+4-1,5+3-1,5-12·-1,5+2=-·+·+·--. Uttrykket er negativt.
For x=0 får vi -30+40+30-12·0+2=-·+·+·-+. Uttrykket er positivt.
For x=2 får vi -32+42+32-12·2+2=-·+·+·++. Uttrykket er negativt.
Vi kan då setje opp forteiknskjema for brøken -3x+4x+3x-12x+2.
Legg merke til at brøken -3x+4x+3x-12x+2 ikkje er definert for x=-1.