Oppgåve

Utforsking av likningar og ulikskapar

Jobb med utforskande oppgåver til likningar og ulikskapar.

1.10.25

I denne oppgåva får du gitt nokre likningar, likningssett og ulikskapar. I kvar deloppgåve skal du finne minst éin situasjon som du kan bruke likningar eller ulikskapar til å løyse. Deretter skal du løyse ulikskapen og svare på den oppgåva du har laga.

a) $[\begin{matrix} x + 2 y = 80 \\ 3 x + 5 y = 210 \end{matrix}]$

b) $x \cdot (x - 4) \leq 5$

c) $3 x + \frac{1}{2} x + (x - 2) = 25$

1.10.26

Nedanfor ser du ei likning og fem ulike løysingsforslag. Ingen av elevane klarte å løyse likninga. For kvart løysingsforslag skal du prøve å forklare kva eleven har tenkt i kvart trinn og finne feilen hen har gjort. Nokre av problema er så store at eleven ikkje klarte å fullføre likninga – kva er gale? Kva for ei av løysingane ville ha gitt mest utteljing på ei prøve? Ta utgangspunkt i den løysinga du meiner er mest riktig, og fullfør løysinga.

Dette er likninga som skulle løysast: $\frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} = \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6}$

a) Løysinga til Per:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} + 5 x + 6)}{x + 2} \\ - \frac{x \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} + 5 x + 6)}{x + 3} & = & \frac{2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6} \\ 2 \cdot (x + 3) \cdot (x^{2} + 5 x + 6) \\ - x \cdot (x + 2) \cdot (x^{2} + 5 x + 6) & = & 2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3) \\ 2 x^{3} . . . \end{array}$

Gir opp. Har ikkje lært å løyse likningar med $x^{3}$ !

Vis fasit

Per har eigentleg ikkje gjort noko gale, men strategien for å finne fellesnemnar gjer at han får eit litt komplisert uttrykk. Det lønner seg å velje den minste, moglege fellesnemnaren, og då er det lurt å faktorisere andregradsuttrykket.

b) Løysinga til Amelia:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{(x + 2)} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2}{(x + 2)} - \frac{x}{(x + 3)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ \frac{2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)}{(x + 2)} - \frac{x \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)}{(x + 3)} & = & \frac{2 \cdot (x + 2) \cdot (x + 3)}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ 2 (x + 3) - x (x + 2) & = & 2 \\ 2 x + 6 - x^{2} + 2 x & = & 2 \\ - x^{2} + 4 & = & 0 \\ x^{2} & = & 4 \\ x & = & \pm 2 \end{array}$

Vis fasit

Amelia si løysing er ei av dei beste foreslåtte løysingane. Det einaste ho har gløymt, er å sjekke om begge dei to løysingane ho har funne er gyldige løysingar. 2 er ei riktig løysing, men vi dersom vi set –2 under brøkstreken, får vi 0 som nemnar, og derfor er det ikkje ei gyldig løysing.

c) Løysinga til Tale:

Fellesnemnar er $(x + 3) (x + 2)$ .

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} - \frac{x}{(x + 3) \cdot (x + 2)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ \frac{2 - x}{(x + 2) \cdot (x + 3)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ 2 - x & = & 2 \\ x & = & 0 \end{array}$

Vis fasit

Tale har funne rett fellesnemnar, men ho har gløymt kva ho skal gjere med han. Ho har multiplisert kvar nemnar med det ho manglar, men gløymt å multiplisere teljarane. Då endar ho opp med ei anna likning.

d) Løysinga til Rikard:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6^{3}} \\ x - 3 & = & x^{2} + 5 x + 3 \\ x^{2} + 4 x + 6 \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2} \end{array}$

Det er eit negativt tal under rotteiknet, og likninga har inga løysing.

Vis fasit

Rikard har gjort grove feil i dei to første ledda, først ved å forkorte ledd mot ledd og så ved å trekkje tala frå dei ulike ledda saman på ein litt vilkårleg måte. I linje 4 har han gløymt at han har ei likning, sidan han manglar $= 0$ i høgre side av uttrykket. Resten av løysinga kunne ha vore riktig.

e) Løysinga til Markus:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ Fellesnemnar : (x + 2) \cdot (x + 3) \\ \frac{2 \cdot (x + 2)}{x + 2} - \frac{x \cdot (x + 3)}{x + 3} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ 2 (x + 2) - x (x + 3) & = & 2 \\ 2 x + 4 - x^{2} - 3 x & = & 2 \\ - x^{2} - x + 2 & = & 0 \\ x^{2} + x - 2 & = & 0 \\ (x - 1) \cdot (x + 2) & = & 0 \\ x & = & 1 \lor x = - 2 \end{array}$

Vis fasit

Markus har funne riktig fellesnemnar og har kanskje tenkt rett når han multipliserer i teljar med den eine faktoren. Vi ser at i den femte linja ville han ha fått same uttrykk som Amelia dersom han hadde valt riktig "halvpart" av fellesnemnar. Etter dette har han funne to moglege løysingar, men den eine er ugyldig (–2), og den andre oppfyller ikkje likninga.

f) Løysinga til Abdi:

$\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{x^{2} + 5 x + 6} \\ \frac{2}{x + 2} - \frac{x}{x + 3} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \cdot (x + 2) (x + 3) \\ \frac{2 \cdot (x + 3)}{(x + 2) \cdot (x + 3)} - \frac{x \cdot (x + 2)}{(x + 3) \cdot (x + 2)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ \frac{2 x + 6 - x^{2} + 2 x}{(x + 2) \cdot (x + 3)} & = & \frac{2}{(x + 2) \cdot (x + 3)} \\ - x^{2} + 6 + 4 x - 2 & = & 0 \\ x^{2} - 4 x + 4 & = & 0 \\ (x - 2)^{2} & = & 0 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vis fasit

Abdi si løysing er òg veldig god. Han har funne rett fellesnemnar. Han har skrive at han multipliserer alle ledd med fellesnemnar, men har i praksis heller valt å utvide alle brøkane til brøkar med felles nemnar. I femte linje har han fjerna nemnaren. Abdi har vore litt uheldig med forteiknet til 2 $x$ i teljaren i linje 4 og får òg ein forteiknsfeil i linje 6. Dermed får han berre 2 som løysing, og vi får aldri vite om han ville ha hugsa på å sjekke om den andre løysinga var gyldig.

1.10.27

Under ser du ein ulikskap. Seks elevar har gitt ulike svar på denne ulikskapen.

$x^{2} + 3 x - 4 \geq 0$

Per si løysing: $x \in ⟨ - 4, 1 ⟩$

Amelia si løysing: $x \in [- 4, 1]$

Rikard si løysing: $x \in [- 1, 4]$

Tale si løysing: $x \in ⟨ - \infty, - 4] \cup [1, \infty ⟩$

Markus si løysing: $x \in 〈 - \infty, - 1] \cup [4, \infty 〉$

Abdi si løysing: $x \in ⟨ - \infty, - 4 〉 \cup ⟨ 1, \infty ⟩$

a) Løys ulikskapen for å finne det riktige svaret.

Vis fasit

$x^{2} + 3 x - 4 \geq 0 (x + 4) (x - 1) \geq 0$

Vi har nullpunkta –4 og 1. Sidan uttrykket $x^{2} + 3 x - 4$ er eit andregradsuttrykk med positivt andregradsledd, veit vi at det har form som ein blid munn og dermed vil vere negativt mellom nullpunkta. Uttrykket skal vere større enn eller lik 0, dermed skal vi inkludere 1 og –4 i løysinga ved å bruke firkanta parentesar, og det er $x$ -verdiar mindre enn eller lik –4 og større enn eller lik 1 som oppfyller ulikskapen.

Løysinga er $x \in ⟨ - \infty, - 4] \cup [1, \infty ⟩$ .

b) Forklar kva som er gale med dei andre svara, og korleis elevane kan ha kome fram til desse.

Vis fasit

Vi ser at det er Tale som har rett. Abdi gjorde nesten rett, men brukte galne parentesar. Markus har fått gale nullpunkt, men valde rett område ut ifrå løysinga si. Rikard har fått dei same nullpunkta som Markus, men han valde òg det negative området. Per og Amelia har rette nullpunkt. Begge har valt det negative området. Per har òg gløymt at ulikskapen seier større eller lik.

c) Kan du gjere endringar i ulikskapen slik at han passar med kvart av dei andre svara?

Vis fasit

Ulikskapen til Per si løysing: $x^{2} + 3 x - 4 < 0$

Ulikskapen til Amelia si løysing: $x^{2} + 3 x - 4 \leq 0$

Ulikskapen til Rikard si løysing: $x^{2} - 3 x - 4 \leq 0 eller - x^{2} + 3 x + 4 \geq 0$

Tale si løysing var riktig, så ho passa.

Ulikskapen til Markus si løysing: $x^{2} - 3 x - 4 \geq 0$

Ulikskapen til Abdi si løysing: $x^{2} + 3 x - 4 > 0$

1.10.28

Nedanfor finn du tre ulike forteiknsskjema. Til kvart forteiknsskjema skal du lage ein ulikskap som dette skjemaet kan brukast til å løyse. I tillegg skal du skrive ned løysinga di.

Forteiknslinje. Forteiknslinja er stipla for alle x-verdiar mindre enn minus 2. Ho er 0 når x er lik minus 2. Forteiknslinja er heil mellom minus 2 og minus 1. Ho er 0 når x er lik minus 1. Forteiknslinja er stipla mellom minus 1 og 4. Ho er 0 når x er lik 4. Ho er heil frå 4 og oppover. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Forteiknsskjemaet viser at uttrykket blir 0 ved $x = - 2, x = - 1$ og $x = 4 .$ Då blir faktorane i uttrykket $(x - 4) (x + 1) (x + 2)$ . Eit forslag til ulikskap er $(x - 4) (x + 1) (x + 2) \geq 0$ , eller ufaktorisert blir den same ulikskapen $x^{3} - x^{2} - 10 x \geq 8$ . Løysinga for ulikskapen er

$x \in [- 2, - 1] \cup$ $[- 4, \to ⟩$

Forteiknslinje. Forteiknslinja er stipla for alle x-verdiar mindre enn 1. Ho viser eit kryss for x er lik 1. Forteiknslinja er heil mellom 1 og tre todelar. Ho er 0 når x er lik tre todelar. Forteiknslinja er stipla frå tre todelar og oppover. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Forteiknsskjemaet viser at uttrykket ikkje eksisterer ved x=1, og då går vi ut frå at det er ein rasjonal ulikskap med $(x - 1)$ i nemnar. Forteiknsskjemaet viser at uttrykket blir 0 ved $x = \frac{2}{3}$ . Då er $(x - \frac{2}{3})$ ein faktor i uttrykket, og vi får $\frac{x - \frac{2}{3}}{x - 1}$ . Eit forslag til ulikskap er $\frac{x - \frac{2}{3}}{x - 1} \leq 0 .$ Løysinga for ulikskapen er

$x \in ⟨ \leftarrow, 1 〉 \cup [\frac{3}{2}, \to ⟩$

Forteiknslinje. Forteiknslinja er stipla for alle x-verdiar mindre enn minus 3. Ho viser eit kryss for x er lik minus 3. Forteiknslinja er heil mellom minus 3 og minus 1. Ho er 0 når x er lik minus 1. Forteiknslinja er stipla mellom minus 1 og 1. Ho er null når x er lik 1. Forteiknslinja er heil mellom 1 og 3. Ho er null når x er lik 3. Ho er stipla frå 3 og oppover. Skjermutklipp. — Bilete: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Vis fasit

Forteiknsskjemaet viser at uttrykket ikkje eksisterer ved $x = - 3$ , og då går vi ut frå at det er ein rasjonal ulikskap med $(x + 3)$ i nemnar. Forteiknsskjemaet viser at uttrykket blir 0 ved $x = - 1, x = 1$ og $x = 3 .$ Då er $(x + 1), (x - 1)$ og $(x - 3)$ faktorar i uttrykket, og eit forslag til ulikskap er $\frac{(x + 1) (x - 1) (x - 3)}{(x + 3)} \geq 0 .$ Ufaktorisert blir uttrykket $\frac{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}{x + 3} \geq 0$ . Løysinga for ulikskapen er

$x \in ⟨ - 3, - 1] \cup [1, 3]$

1.10.25

1.10.26

1.10.27

1.10.28

Reglar for bruk av teksten "Utforsking av likningar og ulikskapar"