Ulikskapar av andre grad
Gitt ulikskapen
Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får null på høgre side.
Vi bruker så til dømes abc-formelen og finn nullpunkta til uttrykket .
Vi veit no at uttrykket er lik 0 når og når .
Det er berre for desse -verdiane at uttrykket kan skifte forteikn.
Det betyr at uttrykket anten er positivt eller negativt for alle -verdiar i kvart av dei tre intervalla og . For å avgjere om uttrykket er positivt eller negativt i kvart av intervalla, kan vi ta "stikkprøver" for ein -verdi i kvart intervall.
Vi veit at uttrykket kan faktoriserast slik at . Det er lettast å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.
For får vi
. Uttrykket er positivt.
For får vi
. Uttrykket er negativt.
For får vi
. Uttrykket er positivt.
Det er ikkje naudsynt å rekne ut verdien i parentesane. Det som har noko å seie, er forteikna på parentesuttrykka.
Utfordring!
Ser du at det eigentleg er nok å rekne ut berre éin verdi? Kan du seie kvifor det er riktig?
For å få ei oversikt over situasjonen, set vi opp eit forteiknsskjema. Det består av ei tallinje som viser -verdiane og ei forteiknslinje som viser forteiknet til uttrykket i dei aktuelle intervalla. Heiltrekt linje markerer at uttrykket er positivt i dette talintervallet, og stipla linje markerer at uttrykket er negativt. Ein "0" viser at uttrykket er lik null for denne -verdien.
Oppgåva vår var å finne ut for kva verdiar av det stemde at . Det er det same som å finne ut når . Ut frå forteiknslinja er det no lett å finne løysinga på oppgåva.
Løysinga på oppgåva er at må liggje mellom 1 og 4. Dette kan vi skrive som eit intervall slik:
Skrivemåten betyr "x er med i intervallet ⟨1, 4⟩", altså intervallet frå 1 til 4. Alternativt kan vi skrive svaret som ein dobbel ulikskap:
Den doble ulikskapen seier at x skal vere større enn 1 og samtidig mindre enn 4.
Ved CAS i GeoGebra skriv vi den opprinnelege ulikskapen rett inn og bruker knappen . Då vil det sjå ut som vist nedanfor.
Vi ser at GeoGebra skriv svaret som ein dobbel ulikskap.
Vi kan også skrive ulikskapen inn i kommandoen "Løys()".